Cálculo Diferencial e Integral

História do surgimento das integrais e a utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

Os primeiros problemas que aparecem na história relacionado com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi a medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles a relacionavam com a área do quadrado, por ser esta figura plana mais simples. Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse a área igual a da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.

Hipócrates de Chios 440 a.C. realizou as primeiras quadraturas da história, quando estudou as lúnulas. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos; primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexa decágono, e assim por diante. No entanto havia um problema, esta sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, esta foi uma ideia genial que deu origem ao método de exaustão, usado para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas,

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Issac Newton (1642-1727), e

Wilhelm Leibniz (1646 –1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização

de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os

primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria Heliocêntrica de Copérnico ( 1473 –1543). O que permitiu a passagem do método de

exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de problemas que envolviam movimento. A geometria a álgebra e a trigonometria, aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante, os métodos do cálculo são entretanto, necessários para estudar as órbitas dos planetas, para 20 calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada através de um campo eletromagnético e, de modo geral, para tratar de todos as aspectos do movimento.

O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo delimites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

A integral definida é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se for contínua em [a,b], então: .