Cálculo de diferencial e integral

UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

CAMPO GRANDE/MS

03/09/2.013

1ª LISTA DE EXERCICÍOS

PROF: CARLOS EDUARDO MELARA

ALUNO: CARLOS ALBERTO ORTIZ

RA: 540811014

1) Determine o termo geral da sequência:

a) (0,2,0,2,0,2,...)

Sejam:

a1=0; a3=0; a5=0

a2=2; a4=2; a6=2;

Percebe-se que:

a1= 0 = 1+(-1)

a2= 2 = 1+(-1)²

a3= 0 = 1+(-1)³

a4= 2 = 1+〖(-1)〗^4

De modo que an= 1+〖(-1)〗^n

____________________________________________________________

b) (1, 4/3, 9/5, 16/7, 25/9, 36/11,…)

Sejam:

a1=1; a2= 4/3; a3= 9/5; a4= 16/7; a5= 25/9 ; a6= 36/11

Percebe-se que os denominadores são números crescentes inteiros, positivos, ímpares e que os numeradores são números inteiros, positivos, pares, e elevados à segunda potência. Assim, podemos escrevê-los:

Denominadores ímpares: 1, 3, 5, 7,.., ou seja, 2n-1;

Numeradores pares elevados ao quadrado, ou seja, (n)²

Portanto, a sequência é definida como:

an= ((n)²)/(2n-1)

____________________________________________________________

c) (0, 7, 26, 63, 124, 225,...)

Sejam:

a1= 0; a2= 7; a3= 26; a4= 63; a5= 124 ; a6= 225

Percebe-se que

a2= n^3-1=(2)^3-1=8-1=7

a3= n^3-1=(3)^3-1=27-1=26

a4= n^3-1=(4)^3-1=64-1=63

a5= n^3-1=(5)^3-1=125-1=124

a6= n^3-1=(6)^3-1=226-1=225

Ou seja,

an= n^3-1

____________________________________________________________

d) (0, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6,…)

Sejam:

a1= 0; a2= 3/2; a3=2/3; a4= 5/4; a5= 4/5 ; a6= 7/6

Percebe-se que:

a) Os denominadores são números consecutivos naturais, portanto: n;

b) Os numeradores alternam-se em ímpares consecutivos e pares consecutivos, portanto:

a1: ímpares consecutivos: 1-(〖-1)〗^(1+1)= 0

a3: ímpares consecutivos: 3-(〖-1)〗^(3+1)= 2

a5: ímpares consecutivos: 5-(〖-1)〗^(5+1)=4

a2: pares consecutivos: 2-(〖-1)〗^(2+1)= 3

a4: pares consecutivos: 4-(〖-1)〗^(4+1)= 5

a6: pares consecutivos: 6-(〖-1)〗^(6+1)= 7

Assim:

an= (n-〖(-1)〗^(n+1))/n

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬-________________________________________________________

e) (-1, 6, 7, 18, 23, 38,...)

Sejam:

a1=-1; a2= 6; a3= 7, a4= 18; a5= 23; a6= 38

Percebe-se que

a1= n^2-2=(1)^2-1=1-2=-1

a2= n^2+2=(2)^2+2=4+2=6

a3= n^2-2=(3)^2-2=9-2=7

a4= 2+2=(4)^2+2=16+2=18

a5= n^2-2=(5)^2-2=25-2=23

Assim,

an= n²-〖(-1)〗^n+〖(-1)〗^n

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f) (0, 2, 6, 12, 20, 30,...)

Sejam:

a1= 0; a2= 2; a3= 6, a4= 12; a5= 20; a6= 30

Percebe-se que:

a1= n^2-n=(1)^2-1=1-1=0

a2= n^2-2=(2)^2+2=4-2=2

a3= n^2-3=(3)^2-3=9-3=6

a4= n^2-4=(4)^2-4=16-4=12

a5= n^2-5=(5)^2-5=25-5=20

Assim,

an= n² - n

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2) Prove que:

a) 〖lim〗┬(n→∞)⁡〖n/(n²+1)〗 = 0

Consideremos uma sequência de termo geral an e seja a um número real. Definimos 〖lim〗┬(n→∞)⁡〖an 〗= 0 se para todo ε>0, existe um natural no tal que n > no => a - ε<an < a + ε ou |an- a|< ε

Assim,

0- ε<n/(n²+1)<ε+0

Mas, n/(n²+1) < n/n² (simplificando por n) => n/(n²+1) < 1/n . Sabendo-se que n/(n²+1)<ε deduzimos que 1/n< ε. Portanto, n > 1/ε.

Seja ε>0 e tome que no = 1/ε, tem-se que:

c=|n/(n^2+1)|= n/(n^2+1)< n/n² = 1/n<1/no , mas no = 1/ε então:

|n/(n^2+1)|< ε

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b) 〖lim〗┬(n→∞)⁡〖2n²/(n²+7)〗