Cálculo II

ETAPA 1

Passo1

Velocidade instantânea

Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 – t1 mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém poderia ter conhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e pareceria à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de velocidade instantânea, ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a operação matemática conhecida como limite: a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1. Ou seja: a operação acima descrita é chamada uma derivada. Se temos uma função qualquer f(t),então a derivada de f(t) no ponto t1 é: ou, definirmos t2 = a t1 + h, assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja, a velocidade instantânea é a derivada temporal da posição. Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda o sentido que foi definido como positivo para a posição (veja a seção “ partículas e o movimento sobre uma reta”). Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição.

Na física, velocidade relaciona a variação da posição no espaço em relação ao tempo, ou seja, qual a distância percorrida por um corpo num determinado intervalo temporal. É uma grandeza vetorial, possuindo direção, sentido e módulo, esse último chamado de rapidez e de dimensões [L][T]-1, sendo medida no SI em metros por segundo (m/s ou ms-1). Em geral, os símbolos da velocidade são v ou , o primeiro para a velocidade escalar e o segundo para o vetor velocidade. A variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração

Equações de velocidade

Velocidade é um conceito fundamental para a mecânica clássica. Foi a partir desse que os primeiros físicos puderam desenvolver o estudo do movimento dos corpos, tornando-se capazes de descrever trajetórias através de funções matemáticas. Isaac Newton, pai da mecânica clássica, desenvolveu o cálculo diferencial a partir desse estudo. Há dois tipos de movimentos considerados mais simples: o movimento retilíneo uniforme(MRU) e o movimento retílineo uniformemente variado(MRUV), que são representados por equações lineares e quadrádicas respectivamente. Para outros tipos de movimento mais complexos utiliza-se a derivada.

Movimento retilíneo uniforme

É o movimento descrito por objetos com velocidade constante, para tal, é preciso que a resultante das forças que atuam sobre o corpo seja nula. Dado um deslocamento , em um tempo A velocidade escalar é dada por:

.

Somente no MRU a velocidade de um corpo a qualquer instante é igual à sua velocidade média, sabendo-se a posição e velocidade da partícula em um determinado instante permite determinar a localização da partícula em qualquer outro instante.[

A equação do espaço em função do tempo , a partir de um ponto é:

O gráfico sxt desse movimento é uma linha reta cuja tangente do ângulo de inclinação dessa reta, em relação ao eixo é o valor da velocidade.

Movimento retilíneo uniformemente variado

É o movimento de objetos que variam sua velocidade de forma constante, ou seja, possuem aceleração constante.

No MRUV a equação da aceleração é análoga à da velocidade no MRU; e a equação de velocidade no MRUV é análoga à do espaço no MRU.

E a equação do espaço é a seguinte:

O gráfico sxt desse movimento é uma parábola.

Derivada

Os dois movimentos acima só ocorrem em condições muito especificas, para estudar os movimentos dos corpos como ocorrem na natureza Newton desenvolveu a derivada, para calcular a velocidade instantânea de um corpo em certo instante é necessário usar limite, medindo-se uma variação infinitesimal de espaço em um intervalo infinitesimal de tempo.

Da definição de derivada:

Com a derivação é possível calcular a velocidade de um objeto a partir do gráfico sxt, ela fornece a inclinação da reta tangente ao ponto na curva correspondente, sendo essa a velocidade instantânea.

A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

Fonte

http://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade// 07/04/2013 hs14:31.

ETAPA 2

Passo2

O que é Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”,em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783),visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja:

e =2,718281828459045235360287471352662497757

Constante de Euler

O número é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

Leonhard Euler começou a usar a letra “e” para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de “e” foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra “e”são desconhecidas, mas talvez seja porque “e” seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x =