Cálcuo II

3. ETAPA 3 - Aplicações da Derivada

Essa etapa é importante para que o aluno saiba utilizar técnicas de cálculo, que se aplicam a uma grande variedade de problemas da vida real.

Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

3.1 Passo 1

Faça a leitura do capítulo 4 – seção 4.1 do PLT, pesquise e elabore um texto explicativo sobre máximos locais, mínimos locais e pontos de inflexão de uma determinada função.

Um ponto de inflexão ou simplesmente inflexão, é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem) troca o sinal. A curva muda de ter curvatura côncava para cima (positiva) para concavidade para baixo (curvatura negativa), ou vice-versa. Pode-se comparar com a condução de um veículo ao longo de uma estrada sinuosa, no ponto de inflexão no qual o volante é momentaneamente "endireitado" quando virado da esquerda para a direita ou vice-versa.

Os valores máximo e mínimo de uma função são denominados extremos da função, e os pontos de máximo e de mínimo da função são denominados pontos de extremos da função.

Vimos também que, para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade em construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida. Foi o que tratamos como abordagem aos conceitos de Máximos e Mínimos e Teste da Derivada Primeira.

3.1 Passo 2

Analise a função f(x)=2x³-18x²+30x+40, cujo domínio é o conjunto de todos os reais, utilizando a primeira derivada para determinar o(s) ponto(s) crítico(s), se existir(em), indicando onde a função f é crescente ou decrescente e o(s) ponto(s) de máximo(s) ou mínimo(s) local(is) e a segunda derivada para determinar o(s) ponto(s) de inflexão, se existir(em), e o estudo da concavidade em relação a esse ponto.

Máximo local:

Max {f(x) = 2 x³ -18 x² +30 x +40} = 54 em x = 1

Mínimo local:

Min {f(x) = 2 x³ -18 x² +30 x + 40} = -10 em x =5

f' (x) = 6x²-36x+30 = 0 ⇔ x²-6x+5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5f'' (x) = 12x-36 ⇔ f''(1) = -24 ∧ f''(5) = 24f'' (x) = 12x-36 = 0 ⇔ x = 3 f'''(x) = 12 ⇔ f'''(3) = 12f '(x) > 0 ⇔ x²-6x+5 > 0 ⇔ x > 5 ∨ x < 1f' (x) < 0 ⇔ x²-6x+5 < 0 ⇔ 1 < x < 5f''(x) > 0 ⇔ 12x-36 > 0 ⇔ x > 3f''(x) < 0 ⇔ 12x-36 < 0 ⇔ x < 3Portanto, diante desses resultados, concluímos que

x = 1 é ponto de máximo local = 5 é ponto de mínimo local

Ponto de inflexão:

x = 3 é ponto de inflexão

f é decrescente em ]1,5[f é crescente em ]-∞,1[ U ]5,+∞[

f tem concavidade positiva em ]3,+∞[

f tem concavidade negativa em ]-∞,3[