Cônicas

Cônicas

Aracaju - Se

2014

Introdução

As Cônicas, foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidas como secções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso). Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo. Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (l uma constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estavam entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porém se perderam, talvez porque logo foram superadas pelo trabalho mais extenso escrito por Apolônio.

A obra de nível mais avançado foi precisamente a feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi a obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o Geômetra Magno.

O tratado consistia em oito livros que contém 387 proposições separadas. [Heath, 1921] diz que o texto sobre as cônicas é um grande clássico e que merecia ser mais conhecido, porém sua forma original é muito extensa.

Apenas os quatro primeiros livros foram preservados em grego e felizmente os três seguintes tinham sido traduzidos para árabe e também se preservaram.

Os quatro livros iniciais foram escritos como uma introdução elementar incluindo as proposições básicas das cônicas. A maioria dos resultados destes livros já eram sabidas por Euclides, Aristaeus e outros, como o próprio Apolônio afirmou. Os quatro últimos livros são extensões do assunto, estudos mais avançados.

No Livro 1 se estudam as propriedades dos diâmetros e tangentes das cônicas. No Livro 2 se investigam as relações entre as hipérboles e suas assíntotas. Também se estuda como desenhar tangentes às cônicas dadas. O Livro 3 é o que contém maior número de resultados novos que Apolônio considera os mais belos possíveis.

Os Livros de 5 a 7 são altamente originais. Neles se estuda o problema de achar normais às cônicas e se obtém proposições que determinam o centro de curvatura, o que conduz à equação cartesiana de evoluta. Heath diz que o Livro 5 é o mais notável dos livros existentes.

Foi Apolônio quem pela primeira vez mostrou que a partir de um único cone é possível obter as três espécies de secções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de secção. Também provou que o cone não precisa ser reto. Finalmente substituiu o cone de uma só folha por um cone duplo, sendo assim o primeiro a reconhecer a existência dos dois ramos da hipérbole.

Elipse

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• Focos: os pontos F1 e F2

• Centro: o ponto O, que é o ponto médio de

• Semieixo maior: a

• Semieixo menor: b

• Semidistância focal: c

• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

• Eixo maior:

• Eixo menor:

• Distância focal:

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.

Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Hipérbole

Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2→ são os focos da hipérbole

O → é o centro da hipérbole

2c → distância focal

2a → medida do eixo real ou transverso

2b → medida do eixo imaginário

c/a → excentricidade