DERIVADAS

DERIVADAS

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Consideremos uma função f ( x ) . A função f é derivável em a, se

f’ (a)= lim f(x ) – f( a)

x → 0

x - a

existir o limite, neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.

APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS

Exemplo 1

Calcular perdas em uma empresa.

Para uma empresa calcular suas perdas (em milhões de dólares) em razão de maus empréstimos, estas perdas podem ser estimadas pelos seguintes cálculos: f(x) = -t2 + 10t + 30 (0 ≤ t ≤ 10) através destes cálculos a empresa poderá saber qual foi seu prejuízo.

Exemplo 2

Calcular o lucro de uma fábrica em função da quantidade de mão de obra.

É através dos cálculos de derivadas que poderemos saber o lucro de uma determinada empresa. Usando a seguinte função (L = -Q3 + 198Q + 20) esta função irá nos prover o lucro da fábrica na relação Produção/venda de certo número de produtos fabricado pela mesma em função da quantidade de mão-de-obra (Q).

Exemplo 3

Calcular taxa de variação e custo no financiamento de um computador.

A derivada mede taxa de variação, ou seja, qualquer taxa de variação do financiamento e custo de um computador seja de hardware ou software pode ser calculado com derivadas. Para calcular a derivada de uma função polinomial, você pode criar um vetor polinômio onde o primeiro termo será o termo independente de x, o segundo x1, o terceiro x2. Para calcular a derivada e só multiplicar o segundo termo por 1, o terceiro por 2, etc.

Exemplo 4

Calcular produção de uma empresa semanalmente.

Podemos também calcular a produção semanal de uma indústria usando a seguinte função (Q(x) = – x2 + 2.100) x unidades, onde x é o número de operários empregados resolvendo a função, poderemos saber a produção semanal desta empresa.

Exemplo 5

Calcular a propagação de epidemia.

Suponhamos que Alta Floresta seja flagelada por uma epidêmica. Através dos cálculos de limites e derivadas os setores de saúde poderão calcular o número de pessoas atingidas por esta epidemia depois de um certo tempo (t) (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) usando para isso a seguinte função “f(t) = 64t -3 t” poderá também o setor de saúde calcular qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias. Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias, e também quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia.

Exemplo 6

Calcular qual o tamanho ideal de uma determinada embalagem.

Suponhamos que uma fábrica esteja produzindo um certo produto e queira saber qual o tamanho ideal da embalagem que terá de ser feita para armazenar este produto, através de fórmulas presentes em limites e derivadas a empresa terá como saber o tamanho da embalagem a ser produzida para o armazenamento do produto, evitando assim gastos desnecessários.

Exemplo 7

Para um produtor rural calcular a produtividade de sua terra e a produtividade do trabalho.

Considerando como exemplo a seguinte função P(x,y) = 2x0,5 . y0,5 , onde P é a

empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados

quantidade colhida de um determinado produto (em toneladas), x é o número de homens-hora

Exemplo 8

Calcular a produção e a taxa de crescimento de um produto, em relação ao tempo.

Podemos usar como exemplo a função de produção P = 10 . x 0,2 indica o capital e y o trabalho. O capital cresce com o tempo “t” de acordo com a relação x =

0,32t e o trabalho cresce com o tempo de acordo com a relação y = 0,2 t2 .

Exemplo 9

Calcular o preço da demanda de produtos em um supermercado por semana.

(Parte 1 de 2)

Suponhamos que a quantidade de batatas demandadas por semana (em Kg) num supermercado seja função do preço unitário x (por Kg) e do preço unitário de arroz y (por Kg), segundo a relação q = f(x, y) = 1000 – 2x2 + 15y. Com o cálculo de limite e derivadas irá

de arroz em 40

descobrir que a um aumento unitário do preço do Kg de batata (de 30 para 31) corresponde uma diminuição da demanda de batata de 120 Kg aproximadamente, mantendo o preço do Kg

Exemplo 10

Calcular a velocidade e a aceleração de um carro.

Com carro em movimento ao longo de uma reta horizontal, suponhamos que sua posição p (em Km) no instante t (em segundos) seja dada por x(t) = 5 t2 + 100. Então, sua velocidade no instante t é v(t) = x’ (t) = 10t. Como o v(0) = 0, o carro parte de repouso no instante t = 0; e como x(0) = 100, parte do ponto x = 100. Substituímos t = 10, vemos que x (10) = 600 e v (10) = 100, de modo que, após 10 segundos, o carro percorreu 500 ft ( de seu porto de partida x = 100), e sua velocidade é então 100 ft/s.

Exemplo 11

Calcular a taxa de variação de