DERIVADAS

Capítulo 3

DERIVADAS

A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo

diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.

Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes,

de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.

É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do

coeficiente angular de uma reta usando limites.

CONCEITO DE DERIVADA

Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO

Considere a seguinte função:

f (x) = x2

Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:

x0 1 = e x1 2 =

Os valores de y correspondentes a esses pontos são:

y f (1) 12 1

0 = = = e y f (2) 22 4

1 = = =

Então, a curva da função passa pelos pontos:

P (x0 , y0 ) (1,1) = =

Q (x1, y1 ) (2,4) = =

Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:

3

1

3

2 1

4 1

x x

y y

x

y

m

1 0

1 0 = =

-

= -

-

-

=

D

= D

O denominador do coeficiente angular é igual a:

x x1 x0 1 D = - =

Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer:

x1 1,1 =

Então:

y f (1,1) 1,12 1,21

1 = = =

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

PÁGINA 2

Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:

Q (x1, y1 ) (1,1 , 1,21) = =

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

2,1

0,1

0,21

1,1 1

1,21 1

x x

y y

x

y

m

1 0

1 0 = =

-

= -

-

-

=

D

= D

Sendo que:

x x1 x0 1,1 1 0,1 D = - = - =

Novamente, vamos fazer:

x1 1,01 =

Então:

y f (1,01) 1,012 1,0201

1 = = =

As coordenadas do ponto Q são iguais a:

Q (x1, y1 ) (1,1 , 1,0201) = =

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

2,01

0,01

0,0201

1,01 1

1,0201 1

x x

y y

x

y

m

1 0

1 0 = =

-

= -

-

-

=

D

= D

Sendo que:

x x1 x0 1,01 1 0,01 D = - = - =

Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:

Dx m

1 3

0,1 2,1

0,01 2,01

... ...

0 2

À medida que Dx se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta

que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2.

A situação, quando Dx tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:

Note que esse é um processo limite dado por:

x

y

m lim

x 0 D

= D

D ®

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x).

Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo