DESENVOLVIMENTO DE INTEGRADOS

FACULDADE ANHANGUERA DE BELO HORIZONTE

ENGENHARIA CICLO BÁSICO – TURMA E

 

 

SUMÁRIO

 

ETAPA 1 – PASSO 1

O SURGIMENTO DAS INTEGRAIS

A história do surgimento das integrais, muito utilizadas hoje em dia em diversas áreas de conhecimento, inclusive engenharias, se relaciona com a resolução de problemas antigos relativos ao cálculo de área. Um dos problemas dos gregos era justamente o de encontrar áreas, através da medição de superfícies. Quando os especialistas em geometria deram início ao estudo das áreas de figuras planas, eles a relacionavam com a área do quadrado, devido a figura plana ser a mais simples.

Os cálculos de área que mais chamavam a atenção dos geômetras, eram o de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. Os primeiros cálculos de área da história foram realizados por Hipócrates de Chios, em torno de 440 A.C.

Antifon, por volta de 430 A.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão.

Também importante, foi a contribuição de Arquimedes, através de seu teorema – O teorema de Arquimedes – quando foi descoberto pelo mesmo que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Uma outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número π.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas – método este que, na pratica, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de, cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava ao volume desejado.

Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então introduzido na aritmética por Wallis. Em 1655, em seu trabalho “Arithmetica infinitorum”, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler sobre a função gamma.

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, “parábolas maiores”: curvas do tipo onde é constante n=2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo, onde e n=-2,-3,-4, etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli, dentre outros.

O problema do movimento vinha sendo estudado desde a época de Galileo.Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava a distância. A partir deste problema envolvendo movimento, a ideia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a ideia de que a integral e a derivada eram processos, era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; que por fim fora formulado por Newton.

Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida a de Cavalieri. Daí vem o símbolo ʃ - um ‘s’ longo - para representar summa. Segundo ele, “represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ∫▒〖y□(24&dx)〗”.

Ambos desenvolveram o cálculo integral separadamente, entretanto Newton via o cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via como mais analítico.

Leibniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, a sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si próprio e não foi feliz em encontrar uma notação consistente.

Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas “reversas.” Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johan Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas ideias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Após o estabelecimento