DESENVOLVIMENTO ENCONTRO SOBRE AS EQUAÇÕES HISTÓRICAS DE UM POLÍNIO

INTRODUÇÃO

O principal objetivo do trabalho proposto é compreender como e em quais circunstâncias as equações polinomiais surgiram e se desenvolveram, compreender o conceito de derivada e fazer com que o aluno construa os conceitos matemáticos pautados em situações de uso social real.

Aprofundaremos mais o conhecimento sobre polinômios resolvendo exercícios e problemas, realizaremos cálculos com derivadas, e ao final estudaremos uma profissão apresentando-a com situações-problema resolvidas e contextualizadas, envolvendo os conceitos matemáticos estudados.

DESENVOLVIMENTO

LEVANTAMENTO HISTÓRICO SOBRE EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Por volta de 809-833 D.C., estabeleceu-se em Bagdá uma "Casa da Sabedoria", comparável ao antigo museu de Alexandria. Entre os mestres que a freqüentaram, houve um matemático e astrônomo chamado Al-Khowarizmi, cujo nome iria tornar-se familiar na Europa Ocidental, como o de Euclides (360-295 A.C.).

Al-Khowarizmi escreveu dois livros sobre aritmética e álgebra, que tiveram papel muito importante na história da matemática. Em sobre a arte de calcular hindu, fez uma exposição bastante completa dos numerais hindus. Essa obra, ao que tudo indica, baseou-se em uma tradução árabe do tratado de 628 de Brahma Gupta, que viveu na Índia Central, o que, possivelmente, gerou a impressão bastante difundida, porém errônea, de que nosso sistema de numeração é de origem árabe. Nosso sistema de numeração para os inteiros é apropriadamente chamado indo-arábico, para indicar sua origem provável na Índia e sua transmissão através dos árabes.

Os árabes buscavam, em geral, uma apresentação clara, indo da premissa à conclusão, e também uma organização sistemática - pontos em que nem Diofante de Alexandria (cerca de 221-305 d.C), às vezes chamado de pai da álgebra, nem os hindus se destacavam. Os hindus eram hábeis em associação e analogias, com intuição apurada, ao passo que os árabes tinham um enfoque mais prático na sua abordagem matemática.

A tradução latina da Álgebra de Al-Khowarizmi se inicia com uma breve explanação do princípio posicional para números. Em seguida, passa-se à resolução, em seis capítulos curtos. Os três últimos capítulos são mais interessantes, pois abrangem sucessivamente os casos clássicos de equações quadráticas com três termos, em que as soluções são dadas por regras elementares para "completar o quadrado", aplicadas a exemplos específicos.

Com base nesse método de completar o quadrado proposta por Al-Khowarizmi, podem-se encontrar as raízes de uma equação polinomial de grau 2, dada por , sendo seus coeficientes, a, b e c, números reais com a ≠ 0.

Observe:

Divide-se toda expressão por a ≠ 0, soma-se e subtrai-se o termo para completar o quadrado extraindo-se a raiz quadrada de ambos os lados.

Convém lembrar que a Índia produziu muitos matemáticos na segunda metade da Idade Média, entre eles Bhaskara (1114-1185), sendo considerado o último matemático medieval importante da Índia, e sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores. Em seu tratado mais conhecido, o Lilavati, ele compilou problemas de Brahmagupta, acrescentado novas observações, além de apresentar numerosos problemas sobre os tópicos favoritos dos hindus, como equações lineares e quadráticas, tanto determinadas quanto indeterminadas, progressões aritméticas e geométricas, radicais e outros. Devido a isso, erroneamente, alguns autores apresentam as raízes de uma equação polinomial de grau 2 em função dos coeficientes, como sendo a fórmula de Bhaskara.

EQUAÇÕES POLINOMINAIS DE GRAU 3

A história da resolução da equação de terceiro grau é muito pitoresca, plena de lances dramáticos, paixões e disputas pela fama e a fortuna que seu achado poderia trazer a seus autores. O primeiro a obter o método de resolução dessas equações foi alguém cujo nome mal é lembrado hoje - Scipione Del Ferro (1465-1526), professor de matemática em Bolonha, uma das mais antigas universidades medievais e uma escola com forte tradição matemática. Como ou quando Ferro fez sua maravilhosa descoberta não se sabe. Não publicou a solução, mas antes de sua morte ele a revelou a um estudante de matemática de pouca expressão, Antônio Maria Fior.

Parece que a idéia da existência da solução algébrica para uma cúbica propalou-se, e Nicolo Tartaglia (1500-1557) nos conta que o conhecimento da possibilidade de resolver a equação inspirou-o a dedicar-se a achar o método por si. Seja independentemente, seja baseado numa sugestão, Tartaglia de fato aprendeu, por volta de 1541, a resolver equações cúbicas. Quando a notícia disso se espalhou, foi organizada uma competição matemática entre Tartaglia e Fior. Cada um dos concorrentes propôs trinta questões para que o outro resolvesse num intervalo de tempo fixado. Quando chegou o dia da decisão, Tartaglia tinha resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto este não tinha resolvido nenhuma das enunciadas por seu oponente.

A notícia do triunfo de Tartaglia chegou a Gerônimo Cardano (1501-1576), que logo convidou o vencedor a vir à sua casa, insinuando que trataria de arranjar um encontro entre ele e um possível patrono. Tartaglia não tinha nenhuma fonte substancial de recursos, em parte talvez por causa de um defeito de locução. Quando criança tinha recebido um corte de sabre, na tomada de Bréscia pelos franceses em 1512, e isso lhe prejudicou a fala. Por esse fato é que recebeu o apelido de Tartaglia, ou gago, nome que usou em lugar de Nicolo Fontana, que recebera ao nascer. Cardano, ao contrário, lograra sucesso como médico. Uma vez lá, com muita insistência Cardano conseguiu que lhe fosse revelado o segredo da resolução das equações do terceiro grau.

Tartaglia consentiu em lhe ensinar a regra da resolução (embora não lhe ensinasse a demonstração da mesma), sob a forma de versos, em troca do juramento solene de que Cardano jamais publicaria esse segredo.

Conhecendo um método de resolução, Cardano procurou e achou uma demonstração que o justificasse. Mais ainda, ele estimulou seu aluno Ludovico Ferrari (1522-1565) a trabalhar com a equação de quarto grau e ele achou o correspondente método de resolução com a devida demonstração.

De posse de ambas as soluções, Cardano deve ter se sentido fortemente tentado a publicá-las. Em 1544, numa viagem com seu aluno, teve acesso a um manuscrito de Del Ferro que continha a famosa regra de Tartaglia, manuscrito este que ainda se conserva. Aparentemente, ao saber que a fórmula de Tartaglia existia já desde trinta anos antes, Cardano se sentiu desobrigado de cumprir seu juramento e publicou, em 1545, em Nuremberg, uma obra intitulada Ars magna, que o tornou verdadeiramente famoso em todo o continente. Um progresso tão notável e imprevisto causou tal impacto sobre os algebristas que o ano de 1545 frequentemente é tomado como marco do início do período moderno na matemática.

Ainda hoje, a Ars magna é uma leitura difícil. Apesar de tratar de equações sobre números, o raciocínio que a embasa é geométrico, como o de Al-Khowarizmi, de modo que podemos pensar em seu método como sendo de "completação do cubo".

Com base nesse método, portanto, podem-se achar as raízes de uma equação polinomial de grau 3, dada por ax3 + bx2 + cx + d = 0, sendo seus coeficientes, a, b, c e d , números reais com a ≠ 0.

Altera-se a variável para x = y + m, logo calcula-se m de modo a anular o termo de 2° grau e divide-se toda a expressão por a ≠ 0 e substitui-se m.

A idéia agora é supor que a solução de (**) é soma de duas parcelas, a partir de (**) substitui-se Y, logo a soma e o produto dos números A3 e B3 são conhecidos, isso permite concluir que A3 e B3 são as raízes desta equação.

Esta é uma solução para a equação algébrica de grau 3. Em conseqüência, as outras duas raízes são obtidas da equação de grau 2, usando-se o argumento anterior.

As resoluções das equações cúbicas e quárticas foram talvez a maior contribuição à álgebra desde que os babilônios, quase quatro milênios antes, começaram a se preocupar com equações de grau 2. Nenhuma outra descoberta constitui um estímulo para o desenvolvimento da álgebra comparável a essas reveladas na Ars magna. A fórmula de Tartaglia-Cardano é de grande importância lógica, mas não é nem de longe tão útil para as aplicações quanto os métodos de aproximações sucessivas. O mais importante resultado das descobertas publicadas na Ars magna foi o enorme impulso dado à pesquisa em álgebra em várias direções.

O próximo passo seria encontrar uma maneira de resolver uma equação algébrica de grau 5, dada por e isso seria um dos grandes desafios da próxima geração de matemáticos. Em 1824, Abel (1802-1829) provou a impossibilidade de resolvê-la algebricamente. Inspirado nesse trabalho, Galois (1811-1832) estabeleceu uma teoria que permitiu determinar as condições necessárias e suficientes para que uma equação tenha solução, provando a impossibilidade da resolução algébrica das equações gerais de grau superior a quatro.

EXERCÍCIO 1

Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma fórmula, quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura. O seu salário mensal s está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um mínimo de 20 e um máximo de 30 blusas por mês.

S(n) = 2.n

Domínio → D=(20< = n < =30)

Imagem→ Im = {S € R | 40< = S < =60}

Se n → = 3= < 2 x 30 = 60

Se n→ = 2 = < 2 x 20 = 40

O conjunto imagem S {S € R | 40 < = S < =60} pode variar de 40 a 60 reais de salário.

EXERCÍCIO 2

Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L=R - C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidade verificou-se que R(x) = 6 000x – x² e C(x) = x²– 2000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo do custo?

R(x) = 6000x –x²

C(x) = x² - 2000x²

Formula : L= R – C

L= 6000x – x² - (x²- 2000x²)

L= 6000x – x² - x² + 2000x

L = 6000x – 2x² + 2000x

L = 8000x - 2x²

L = - 2x² - 8000x

Calculando o Delta:

-2x² + 8000x → a = -2 b= 8000 c = 0 (não tem)

∆ = B² - 4.a.c → ∆ = 8000² - 4 . (-2).0 → ∆ = 64.000

Calculando o Vértice:

V = -b ; -∆ → V = -8000 ; 64000 → (2000 ; - 8000)

2.a 4.a 2.(-2) 4.(-2)

O lucro máximo para x = 2000

L = 8000 x 2000 – 2 x 2000²

L = 8.000.000,00

O lucro máximo é de R$ 8.000.000,00 (milhões)

Valor mínimo:

Xv = 2000 = 1000

2

C= x² - 2000 . x

C = 1000² - 2000 x 1000

C = 1.000.000,00

O valor mínimo do custo é de R$ 1.000.000,00 (milhão)

GEOMETRIA ANALÍTICA

Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das variedades analíticas. Este artigo foca no significado clássico e elementar da expressão.

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da analise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.

Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector (vetor) ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind.

Os temas importantes de geometria analítica incluem:

• Espaço vetorial;

• Definição do plano;

• Problemas de distância;

• O produto escalar para obter o ângulo entre dois vetores;

• O produto vetorial para obter um vector perpendicular a dois vetores conhecidos (e também o seu volume espacial);

• Problemas de intersecção.

Muitos destes problemas envolvem álgebra linear. ABRAHAM DE MOIVRE também foi pioneiro no desenvolvimento da geometria analítica.

EXERCÍCIO 1

Sendo R(q)=q2 – 7q + 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos, encontre algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos. Qual será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1.000 unidades?

R (q) = q² - 7q + 8 → q ² = 2q -7q = -7 8 = 0

R’ (q) = 2q – 7

q² - 7q +8

R = 1000² - 7.1000 + 8

R = 1.000.000 – 7000 + 8

R = 993.008

A receita será de R$ 993.008 quando a quantidade de brinquedos ultrapassarem a 1.000 unidades.

EXERCÍCIO 2

Uma indústria tem seu custo total representado pela função C(q)=q²-6q+8, onde q representa a quantidade de tijolos produzidas e C(q) o custo total em reais, Para obtermos a equação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma:

a) Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal.

b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) =q²-6q+8 no ponto q=1, construindo seu gráfico.

C(q) = q² - 6q +8

q = quantidades de tijolos produzidos

C(q) = custo total em reais

a) C(q) = q² - 6q +8

R(q) = 2q – 6

b) C(q) = q² - 6q +8

C(q) = 1² - 6x1 + 8

C(q) = 3

Pontos (1;3) → Quando q= 1 C =3

C’(1) = 2 x 1 – 6 = - 4

Função da Reta Tangente : y – y0 = m (x – x0)

Y – 3 = - 4 (x – 1)

Y = - 4x + 7

Equação da Reta : Y = 4x + 7

CONTEÚDOS DE DERIVADA

De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A noção de tangência é importante na vida diária, todos desenvolvemos uma considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal.

Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.

O quarto paradoxo formulado pelo filósofo grego Zenon (495-435 a.C.), chamado de “A seta”', pode-se enunciar da seguinte forma: “Uma seta movendo-se, a cada instante está em repouso, ou não em repouso, (isto é, em movimento). Se o instante é indivisível, a seta não pode se mover em um instante, porque se ela o fizesse o instante seria imediatamente dividido. Mas tempo é feito de instantes. Como a seta não pode se mover em nenhum instante, ela não pode se mover em nenhum tempo. Então ela sempre permanece em repouso. '' Ou seja, não existe o movimento da seta”.

O leitor encontrará mais informações sobre os paradoxos de Zenon no livro de E. T. Bell “Men of Mathematics”, Dover, N. York (1937), por exemplo.

Este argumento de grande engenhosidade para a época em que foi estabelecido pode ser refutado hoje em dia com base em alguns conceitos mais refinados do que os disponíveis naquele tempo. Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao conceito de velocidade instantânea.

Suponhamos que um ponto descreva um movimento sobre uma reta de modo que sua coordenada, em cada instante t, seja x=s(t). Esse ponto pode representar a seta disparada de um arco. Ao se mover da posição a=s(t1) para b=s(t2), o ponto tem uma velocidade média v, definida por:

v= [s(t2) - s(t1)] / (t2 - t1).

Assim, a velocidade média envolve o lapso de certo tempo e as posições do ponto no início e no final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto grosseira, insuficiente para explicar que, em cada instante fixado t0 entre t1 e t2, o ponto está em movimento e tem algo que o diferencia de um ponto em repouso: uma velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca do movimento, isto é, uma grandeza que não depende de lapsos, mas está associada somente ao instante t0. Como defini-la?

A idéia é tomar velocidades médias

vt = [s(t) - s(t0)] / (t - t0).

Em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0. Ou seja, essas observações contêm o conceito de derivada.

Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico de f, que denotaremos por G(f)) num ponto p= (a, b), b=f(a), onde f é uma função definida numa vizinhança de a. O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, b) e por (x, y) de G(f). Depois “deslizamos” (x, y) ao longo do gráfico aproximando-o do ponto (a, b). Pode ocorrer que neste processo as secantes tendam para uma reta limite''. Quando este for o caso, diremos que a curva y=f(x) tem uma reta tangente no ponto (a, b) e que a mencionada reta limite é a reta tangente à curva y=f(x), no ponto (a, b).

É instrutivo imaginar um caso em que não existe essa tal reta limite''. Pense, por exemplo, na função.

Tomando (a, b) = (0, 0). Faça um esboço do gráfico de f. Considere um ponto (x, y) do gráfico dessa função e imagine o que acontece com as retas secantes por (a, b) e (x, y), quando (x, y) desliza sobre o gráfico, tendendo a (a, b). Não existe a reta limite.

As Figuras representam dois casos de funções em que existe a reta tangente ao gráfico. Repare que o caso da Figura (b) não está muito de acordo com nossa intuição, digamos, mais primitiva, pois a reta tangente cruza a curva no ponto de tangência. Reta tangente à curva y=f(x).

Definição de derivada e regras de derivação

Tomemos os coeficientes angulares, m(x) = (f (x) - f (a)) / (x-a), também chamados declividades, das retas secantes a G(f) por (x, f(x)) e (a, f(a)). Se a ``reta limite'' de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m(x) tendem a um valor fixo, m(a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de e também ponto de acumulação de A. Isto é, lembrando que A' denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos .

Definição: Consideremos uma função e . A função f é derivável em a, se existir o limite. Neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.

Há várias notações para a derivada. Sendo y=f(x), as seguintes são algumas das mais comuns. O termo diferençável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima. A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x, , produz um acréscimo da variável y, . A idéia é que, ao se tornarem “infinitamente pequenos”', esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operava-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão transformava-se em dy/dx e este símbolo não representava um ente uno, como acontece hoje, mas o quociente entre dy e dx. A despeito desses argumentos não terem uma clara fundamentação lógica, devem ser julgados no contexto de sua época. A notação de Leibnitz permanece e o leitor notará que ela é útil sendo, em muitas circunstâncias, a mais sugestiva.

A notação f'(x) é atribuída a Lagrange. É a notação mais conveniente quando f é diferençável em um conjunto A e se considera a função derivada em A. Isto é, a função f' que associa a cada a derivada f'(x) de f no ponto x. Quando a variável independente representa o tempo e é indicada por t, também se usa para a derivada de y=f(t) a notação , atribuída a Newton.

Após as considerações feitas até aqui é natural colocar:

Sendo y=f(x) derivável em a, a reta tangente ao gráfico, G(f), em (a, b), b=f(a), é a reta dada por: y - b = f'(a). (x - a).

Se a equação horária de um movimento retilíneo é x=s(t), onde s é uma função diferençável da variável tempo t, a velocidade v(t0) num instante t0 é a derivada de s em t0, isto é, v(t0):=s'(t0).

Exemplo 1:

(1) Se , então f'(x) = 0. De fato, neste caso, o limite fica

Em qualquer ponto a.

(2) Se f(x) = x2, então f'(a ) = 2a. De fato,

(3) A reta tangente à parábola y=x2, no ponto (2,4) é y-4 = 4(x-2).

De fato, a derivada de x2 no ponto x=2 é igual a 4. Usando agora o fato de que a equação da reta de coeficiente angular m, passando pelo ponto (a, b), é dada por

y-b = m(x-a), chega-se à equação y-4 = 4(x-2).

(4) Generalizando o item (2), tem-se.

Antes de provarmos esse fato, convém observar que, se f é uma função diferençável em um ponto a, na definição de derivada, o limite (y-4 = 4(x-2)) pode ser escrito na forma o que será feito com muita frequência.

Retomando o nosso exemplo, aplicando o desenvolvimento do binômio obtemos:

Para n=1, temos um caso particular importante dessa fórmula:

(x)'=1, isto é, a derivada da função identidade é 1. A fórmula neste caso faz sentido apenas para , uma vez que a expressão 00 não é definida. Entretanto, o leitor pode verificar diretamente, a partir da definição de derivada, que (x)'=1, inclusive no ponto x=0.

(5) . De fato, usando o Primeiro Limite Fundamental para justificar a penúltima e a última linha da seguinte cadeia de igualdades, temos.

(6) . O leitor deve se encarregar da demonstração desse fato. Se a função é derivável em cada ponto de um conjunto , diz-se que f é derivável (ou diferençável) em B. Se tivermos A=B, diremos simplesmente que f é derivável.

Assim, as funções , e y= xn, , são exemplos de funções diferenciáveis. A seguinte proposição e os próximos dois exemplos ajudam a entender como deve ser uma função não diferençável.

Se uma função f é derivável em um ponto a, então f é contínua em a.

Note que f é contínua em a se, e somente se, este, de fato, é o caso quando f é diferençável em a, pois:

Como estamos interessados em entender como é uma função não diferençável num ponto, pode reformular a Proposição dizendo que toda função descontínua num ponto a é não diferençável em a. Será que toda função contínua em a é diferençável nesse ponto?

A resposta é negativa (como era de se esperar, pois em caso afirmativo, os conceitos de diferenciabilidade e continuidade seriam equivalentes e poderíamos ficar com apenas um deles). Os exemplos seguintes mostram funções contínuas e não diferenciáveis em um ponto. As funções diferenciavam formando, uma classe mais seleta, ser diferençável é ser contínua e mais alguma coisa.

Exemplo 2: A função f(x) = |x| é contínua, mas não diferençável, no ponto a=0. De fato, neste caso, o limite em a=0, calculado à esquerda e à direita, assume valores distintos:

Logo, não existe f'(0). As expressões e são chamadas, respectivamente, derivada à esquerda e derivada à direita de f em 0. São denotadas por f'(0-) e f'(0+). Considerando limites laterais em e lembrando as propriedades desses limites temos: Seja a um ponto do domínio de uma função f e também ponto de acumulação lateral desse domínio, deixando-o à esquerda e à direita. f é diferençável em a se, e somente se, suas derivadas laterais existem e coincidem. Neste caso, f'(a) = f'(a-) = f'(a +). Como é possível ver a definição de derivada, como recurso para o cálculo, é pouco manejável.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Matemática é um conteúdo de extrema importância no nosso cotidiano.

Usada desde as situações mais simples do dia a dia, até nas situações de decisões nas pequenas e grandes empresas. É uma ferramenta importantíssima para a tomada de decisão.

Com a Matemática é possível ter um planejamento entre o que tenho para receber e o que posso gastar, fazer aplicações visando possíveis lucros entre outras situações.

No decorrer do desenvolvimento deste trabalho aprendemos que a matemática é um método de ensino que permite a aquisição e apreensão das teorias matemáticas que são indispensáveis tanto ao contabilista como ao administrador.

Aprendemos a utilidade das Derivadas para a determinação de intervalos de crescimento/decrescimento; pontos de máximo e mínimo; diferentes taxas de crescimento/ decrescimento e pontos de inflexão de uma função.

Aprendemos a calcular a receita, o custo e o lucro.

Entendemos também que a função Polinomial em sua forma geral, pode ser explorada em diversos fenômenos na área financeira. Entendemos o uso dos logaritmos, e a sua intenção no uso como uma ferramenta para a resolução de equações exponenciais oriundas de problemas que envolvem funções exponenciais.

Em fim, concluímos que matemática tem sido de grande importância para os administradores dentro de suas funções, mas ele precisa ter amplo domínio da matemática para ser bem sucedido em seu trabalho, que depende em grande parte, da exatidão dos números.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Murolo, Afrânio Carlos. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

Brasil escola. Adequação profissional. Disponível em: < http://g1.glhttp://meuartigo.brasilescola.com/informatica/adequacao- profissional-contabilidade-junto-as-novas-.htmobo.com/concursos e-emprego/noticia/2012/03/confira-mapa-com-3-mil-vagas-na-grande- sao-paulo.html>. Acesso em: 6 de maio de 2012.

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Portal de Contabilidade. Analise Demonstrações Financeiras. Disponível em: < www.portaldecontabilidade.com.br >. Acesso em: 6 de maio de 2012.