Definição geométrica de vetores

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE NOVA XAVANTINA

FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS, BIOLÓGICAS E SOCIAIS APLICADAS

CURSO DE BACHARELADO CIÊNCIAS AGRÁRIAS

VETORES

Gabriella A. Ramos, Tiago Y. Inoue

Nova Xavantina – MT

2014/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE NOVA XAVANTINA

FACULDADE DE SIÊNCIAS AGRÁRIAS, BIOLÓGICAS E SOCIAIS APLICADAS

CURSO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS

Gabriella A. Ramos, Tiago Y. Inoue

VETORES

Trabalho apresentado à disciplina de Geometria Analitica no curso Ciências Agrárias da

Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus de Nova Xavantina. Prof. Dirceu Luis Pich.

Nova Xavantina – MT

2014

Sumário

Vetores

Várias grandezas físicas, tais como, por exemplo, comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são chamadas escalares e são modeladas por números reais. Outras grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento, velocidade e força. Tais grandezas são chamadas vetoriais e são modeladas por vetores.

Primeiramente, introduziremos o conceito de vetor do ponto de vista geométrico, o que permite uma visão intuitiva dos vetores e de suas relações entre si. Por isso, vamos nos restringir ao plano (espaço bidimensional) e ao espaço (espaço tridimensional). Mais tarde, quando considerarmos vetores do ponto de vista algébrico, o que nos permitirá estudar vetores em espaços de mais de três dimensões, a visão geométrica que nós adquirimos estará sempre ao nosso lado para nos guiar.

Definição geométrica de vetores

Dois pontos distintos A e B no espaço determinam uma reta. Esta reta e uma direção no espaço. Não precisamos da reta toda para determinar esta direção; o segmento da reta entre os pontos A e B, que é a parte da reta compreendida entre estes dois pontos, serve muito bem para determinar esta direção. Este segmento de reta pode ser facilmente orientado, provendo um sentido para o segmento, se considerarmos um dos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final. Por exemplo, o segmento orientado com ponto inicial A e ponto final B será denotado por AB. Pontos serão considerados como segmentos orientados: um ponto é um segmento orientado nulo; por exemplo, o ponto A é identificado com o segmento orientado AA com ponto inicial A e ponto final também A. Além disso, podemos falar no comprimento de um segmento. O comprimento do segmento determinado por A e B é denotado por AB.

Segmentos orientados possuem, portanto uma direção, um sentido e um comprimento. No entanto, eles também são caracterizados pelo seu ponto inicial. São modelos (representações) de vetores localizados, onde o ponto de aplicação do vetor é importante; não os consideraremos neste curso. Vetores são unicamente caracterizados por direção, sentido e magnitude. Eles serão representados por segmentos orientados desde que fizermos a seguinte convenção: segmentos orientados pertencentes a retas paralelos tais que, quando estas retas são movidas uma em direção a outra até coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes segmentos também coincidem, representam o mesmo vetor. Assim, um vetor pode ser representado por vários segmentos orientados diferentes. A situação é análoga a dos números racionais, que podem ser representados por várias frações diferentes: as frações 1/2, 2/4,5/10 e 111/222 representam o mesmo número racional.

Resumindo:

Vetores são representados por segmentos orientados e são caracterizados por

1. Direção,

2. Sentido,

3. Magnitude.

Duas operações entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo vetores em espaços de dimensões maiores são a soma de vetores e a multiplicação de vetores por escalares.

Soma de Vetores

Sejam v e w dois vetores. Sua soma v + w é o vetor definido da seguinte maneira

Escolha um representante qualquer AB para o vetor v. Para o vetor w escolha o único representante BC com ponto inicial B, isto é, igual ao ponto final do representante de v. O vetor v + w é representado pelo segmento orientado AC, cujo ponto inicial é o ponto inicial A de v e cujo ponto final é o ponto final C de w.

Esta definição é motivada pela interpretação de vetores como deslocamento: nesta interpretação, a soma de dois vetores corresponde à composição de deslocamentos ou o deslocamento total. Ela é a chamada regra do triângulo.

Uma definição equivalente para a soma de dois vetores é sugerida pela interpretação de vetores como forças.

E a chamada regra do paralelogramo:

Desta