Definições E Conjuntos: - Núcleo De Transformação Linear -Imagem De Transformação Linear Teorema Do Núcleo E Da Imagem.

Definição

Sejam e espaços vetoriais sobre o mesmo corpo .

Diz-se que uma função de em é uma transformação linear se

• ;

• .

Exemplos de transformações lineares:

• a função de em definida por ;

• a função de em definida por ;

• a função de em definida por ;

• se for o espaço das funções deriváveis de R em R e se for o espaço de todas as funções de R em R, então a derivação (isto é, a função de em que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se ∈ \ , então a função de em definida por não é uma transformação linear.

Se for uma função de um espaço vetorial num espaço vetorial , então afirmar que é linear equivale a afirmar que preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores ∈ e dois escalares ∈ :

Para qualquer aplicação linear de em tem-se:

• , pois .

• se ∈ , então , pois .

Núcleo

O núcleo de uma transformação linear de em , denotado por , é o conjunto

(onde é o vetor nulo de )

Exemplo: O núcleo da função de em definida por é:

O conjunto é um subespaço vetorial de V, pois se ∈ e se ∈ , então

,

ou seja, ∈ .

Se uma aplicação linear de em for injectiva, então , pois e, portanto, pela injectividade de ,o único vector ∈ tal que é . Reciprocamente, se , então é injectiva, pois, dados ∈

.

Imagem

Sejam e espaços vectoriais sobre um corpo . A imagem de uma transformação linear de em é o conjunto

.

Sejam dois elementos da imagem de e sejam . Então, como estão na imagem de , há vectores tais que e que , pelo que

.

Logo, é um subespaço vectorial de .

Teorema.

Se a dimensão de V é finita então a dimensão da imagem é finita e vale a relação

dimV=dimIm(T)+dimN(T).

Prova. É claro que o núcleo, como subespaço do espaço de dimensão finita V, também tem dimensão finita (veja o exc. 4 de bases e dim.). Seja {v'1,...,v'p} uma base da imagem de T. Logo, existem v1,...,vp no domínio V tais que

v'1 = T v1 ,..., v'p = Tvp.

Sejam agora u1,...,un vetores