Derivada

Derivação

O cálculo é a parte da matemática que estuda as taxas de variação de funções. Para estudar as taxas de variação utilizamos um método conhecido como derivação. Neste capítulo, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser utilizado para determinar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma curva.

Para uma reta, a taxa de variação é a mesma em todos os seus pontos. Para outros gráficos que não são retas, a taxa à qual o gráfico sobe ou desce pode variar de ponto para ponto.

Na Figura 1, por exemplo, vemos que no ponto (x1, y1) a parábola sobe mais rapidamente do que no ponto (x2, y2). No ponto (x3, y3), que é o vértice, o gráfico deixa de subir ou descer, e no ponto (x4, y4), o gráfico está descendo.

Figura 1

Para determinar a taxa à qual um gráfico sobe ou desce em um ponto específico, é preciso determinar a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

Inclinação de um Gráfico

Como a reta tangente é a aproximação linear do gráfico em um ponto, determinar a inclinação de um gráfico em um ponto significa calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Exemplo 1: Obtenha uma aproximação da inclinação do gráfico de f(x) = x2 no ponto (1, 1).

Figura 2

Solução: Vemos no gráfico de f(x) = x2 que a reta tangente no ponto (1, 1) sobe aproximadamente duas unidades para cada unidade de variação de x, conforme Figura 2. Assim, a inclinação do gráfico no ponto é dada por

Podemos concluir que o gráfico tem inclinação 2, aproximadamente, no ponto (1, 1).

Inclinação e o Processo de Limite.

No exemplo 1, determinamos a inclinação aproximada de um gráfico em um ponto, construindo o gráfico e traçando uma reta tangente no ponto indicado. Entretanto, um método mais preciso para obter a aproximação de tangentes pode ser utilizado. Trata-se da reta secante pelo ponto de tangência e por outro ponto do gráfico, conforme Figura 3..

Sendo (x, f(x)) o ponto de tangência e (x + ∆x, f(x + ∆x)) um segundo ponto do gráfico de f, então a inclinação da reta secante que passa pelos dois pontos é

msec = inclinação da reta secante

O numerador ∆y é a variação de y.

O denominador ∆x é a variação de x.

Figura 3

Com este processo, podemos obter aproximações cada vez melhores da inclinação da curva, tomando o segundo ponto cada vez mais próximo do ponto de tangência, conforme ilustra a Figura 4.

Figura 4

Levando esse processo até o limite, podemos determinar a inclinação exata da reta tangente no ponto (x, f(x)).

Definição da inclinação de um gráfico:

A inclinação m do gráfico de f no ponto (x, f(x)) é igual à inclinação da reta tangente à curva da função f no ponto (x, f(x)), e é dada por

A definição acima é válida desde que o limite exista.

Na definição de inclinação de um gráfico, utilizamos ∆x como variável para representar a variação de x. Outras variáveis também podem ser usadas. Assim é que esta definição pode ser escrita da seguinte forma:

Exemplo 2: Determine a inclinação do gráfico de f(x) = x2 no ponto (-2, 4).

Solução:

Conforme mostra a Figura 5, o gráfico tem inclinação -4 no ponto (-2, 4).

Figura 5

Exemplo 3: Determine uma fórmula para a inclinação do gráfico de f(x) = x2 + 1. Em seguida, determine a inclinação nos pontos (2, 5) e (- 1, 2).

Solução:

Tomemos, agora, o limite de msec quando ∆x → 0.

Aplicando a fórmula m = 2x, vamos encontrar a inclinação nos pontos específicos.

Em (2, 5), temos: m = 2 . 2 = 4

Em (- 1, 2), temos: m = 2 . (- 1) = - 2

Veja o gráfico (Figura 6)

Figura 6

Derivada de uma Função

No exemplo acima, utilizamos o processo de limite na função f(x) = x2 + 1 para deduzir a função m = 2x, que representa a inclinação do gráfico no ponto (x, f(x)). Esta função é chamada a derivada de f em x.

Definição de Derivada:

A derivada da função f(x) em relação a x é a função f’(x) (que se lê “f linha de x”) dada por

desde que o limite exista.

O