Derivada da Função Composta

Derivada da Função Composta

(Regra da Cadeia)

1a Aula de Cálculo (N2)

Seja y = f(x) uma função composta, isto é, que pode ser escrita sob a forma y = g(u),

u = (x) ou ainda y = g[(x)]. f(x) = (g o )(x)]

Vale então a seguinte regra :

Se a função u = (x) tem uma derivada no ponto x e a função y = g(u) tem uma derivada para o valor correspondente de u, então no ponto x a função composta y = g[(x)].tem uma derivada igual a y’ = (g o )’(x) = g’((x)). ’(x). (Regra da Cadeia)

Exemplos :

1) f(x) = (x2 + 2x)4 f(x) = g( (x)) (x) = x2 + 2x g(x) = 4(x)

f’(x) = g’((x)). ’(x) f’(x) = 43(x).’(x) = 4 (x2 + 2x)3. (2x + 2).

2) f(x) = (x2 + 3x)2 f’(x) = 2.(x2 + 3x).(2x + 3) = (2x2 + 6x).(2x + 3) = 4x3 + 18x2 + 18x

3) f(x) = sen(3x2 – 1) f’(x) = cos(3x2 – 1). 6x

4) y =

5) f(x) = sen(x2) f’(x) = cos(x2).2x

6) f(x) = tg2(x) f’(x) = 2 tg(x).sec2(x)

7) f(x) = cos2(x2 + 1) f’(x) = 2.cos(x2 + 1).sen(x2 + 1). (2x)

8) y = (casa) y’ =

9) Seja g(x) = f(cos(x)), calcule , sabendo que f’(1/2) = 4.

g’(x) = f’(cos(x)).-sen(x) = f’(1/2).- = - 2 .

10) f’(3), sendo f(5 + 2x) + f(2x2 + 1) = 4x2 + 4x +2 Resp. 2

Derivadas Sucessivas

Exemplo : f(x) = x4 + 2x3 – 3x, como toda função polinomial é derivável

f’(x) = 4x3 + 6x2 – 3 f’’(x) = 12x2 +12x

f’’’(x) = 24 f(IV)(x) = 24 f(V)(x) = 0

Notações : y = f(x)

Exemplos :

1) f(x) = (x3 – 4)2 + x2 2) f(x) = cos(4x)

3) Verifique se a função satisfaz a seguinte equação