Derivadas

 Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de

y=f(x), no ponto x = x0, ouseja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:

y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

Algumas Derivadas Básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.

a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto: Soma / Subtração

Produto por uma constante/ Derivada do produto/ Derivada da divisão/ Potência de uma função/ Derivada de uma função composta.

Regra da Cadeia

A fórmula: é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como:

Derivada da função inversa

A inversa da função y(x) é a função x(y):

Exemplos de Derivadas

1. Se o lado de um quadrado aumentar 3%, qual será o aumento aproximado da área do quadrado?

Solução: A área do quadrado é dada por A(x)=x², assim a diferencial desta função será escrita como:

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dA = A '(x)dx = 2x dx

pois A '(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente:

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dA = 2x (0,03) = 0,06 x = 6% de x

2. Se a aresta de um cubo mede x=10 cm, diminuir 3%, qual será a diminuição aproximada do volume deste cubo?

Solução: O volume do cubo é dado por V(x)=x³, assim temos que V'(x)=3x² e a diferencial desta função será escrita como:

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dV = V '(x) dx = 3x² dx

Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente:

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dV = 3 × 10² (0,03) = 9 cm³

3. Um triângulo tem dois lados que medem 2m e 3m formando um ângulo de 60o. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de 1%, qual será o erro aproximado no cálculo da área?

Solução: Se a e b são as medidas dos lados de um triângulo que formam um ângulo medindo x, a área desse triângulo é dada por A(x)=½