Derivado da função

Integral Indefinida

Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a

própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida,

pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a

velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento

qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou

integração indefinida.

Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f

é chamada de primitiva ou antiderivada de f.

Exemplos:

1) 5 2

3

( )

3

= + x +

x

F x é uma primitiva de ( ) 5

2

f x = x + , pois F ’(x) = x

2

+ 5.

2) F(x) = ln(x) + cos(x) − 7 , x > 0, é uma primitiva de ( )

1

( ) sen x

x

f x = − , pois

( )

1

´( ) sen x

x

F x = − .

Observação: A primitiva não é única. De fato, a função 5 ( )

2

f x = x + , por exemplo, poderia ter

5 5

3

( )

3

= + x +

x

F x , 5 1

3

( )

3

= + x −

x

F x ou x C

x

F x = + 5 +

3

( )

3

, onde C é uma constante qualquer,

como primitiva. O mesmo se aplica para a função do exemplo 2). Portanto, temos a seguinte

propriedade para primitivas:

Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f

tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante.

Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

f x dx = F x + C ∫

( , ) ( )111

onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo ∫

é

chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a diferencial de x, neste contexto, um

símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x.

Dica: Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução

F(x) + C. Se essa derivada for igual a f(x), então a primitiva está correta; se for diferente, existe

algum erro nos cálculos.

A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de

derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de

integrais imediatas, as quais são apresentadas na tabela abaixo:

∫

k dx = kx + C, k constan te ∫

sen( x)dx = −cos(x) + C

∫

+ ∀ ≠ −

+

=

+

, 1

1

1

C n

n

x

x dx

n

n ∫

sec (x)dx = tg(x) + C

2

∫

= ln + , ∀ ≠ 0

1

dx x C x

x

∫

cossec (x)dx = −cot g(x) + C

2

∫

e dx = e + C

x x

x tg x dx = x +C ∫

sec( ) ( ) sec( )

x dx = sen x + C ∫

cos( ) ( )

∫

cossec(x) cot g(x)dx = −cossec(x) + C

Regras algébricas para Integração Indefinida:

1) ∫ ∫

k f (x) dx = k f (x) dx , k uma constante qualquer.

2) [ ]

∫ ∫ ∫

f ( x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x)dx

Observação: Não existe regra para a integral do produto e do quociente de duas funções. 112

Exemplos: Calcule as integrais indefinidas abaixo:

1) x C

x

x

x

x

x

x dx

x

x

x

x − + + − − = − + − − − + ∫

4

2

1

3

4

12

33

)4

1

8

6

(

33 6 2

2

32 5

2) x x C

x

dx

x

dx x

x

x x

 = + − +











= + − 













 + −

∫ ∫

2 ln7

3

7

2

2 7

3

2

3

3) C

e x

x dx e

x x dx e

x x x

= + + 















= + 















+ ∫ ∫

5

2

2 2 2

2/5

/3 2

4) ∫ ∫ dx = x dx = − g x + C

sen x

cossec ( ) cot ( )

( )

1 2

2

5) ( )

∫

cos( t) − sec(t)tg(t) dt = sen(t) − sec(t) + C

6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4+5t

2/3

habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8

meses?

Solução: Seja p(t) a população da cidade no tempo t (medido em meses). A taxa de variação de

uma função é dada pela sua derivada. Assim, temos p´(t) = 4 + 5t

2/3 e, portanto,

p t = + t dt = t + t + C ∫

3/2 3/5

( . Como p(0) = 10.000, substituindo na equação, ) 4( 5 ) 4 3

encontramos C = 10.000. Logo, a função que representa a população num instante t qualquer é

dada por 000 ( ) 4 3 10.

3/5

p t = t + t + e, conseqüentemente, daqui a 8 meses a população será de

p(8) = 4 × 8 + 3 × 32 +10.000 = 10.128 habitantes.

7) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 1 + 4t + 3t

2

m/min. Que distância o corpo percorre no terceiro minuto?

Solução: Seja s(t) a posição do corpo no tempo t. Como a velocidade é dada pela derivada da

função posição, segue que s´(t) = v(t), ou seja, ∫

s(t) = v(t) dt ou s(t) = t + t + t +C

2 3

2 . A

distância que o corpo percorre no terceiro minuto é dada por 113

s(3) – s(2) = 3 +18 + 27 + C – 2 – 8 – 8 – C = 30.

Portanto, o corpo percorre 30 metros no terceiro minuto.

8) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido

de carbono no ar estará aumentando á razão de 0,1t + 0,1 partes por milhão por ano. Se o índice

atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos?

Solução: Seja i(t) o índice de monóxido de carbono no ar no tempo t. Então, i´(t) = 0,1t + 0,1, ou

i(t) = 0,1 t

2

/2 + 0,1t + C. Como i(0) = 3,4, segue que C = 3,4, ou seja, o índice de monóxido de

carbono no ar em um tempo t qualquer é dado por i(t) = 0,1 t

2

/2 + 0,1t + 3,4. Em particular,

quando t = 3, tem-se um índice de i(3) = 4,15 partes por milhão.

9) Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t anos,

está variando a uma taxa de 0,06t

2/3 + 0,3t

1/2 metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura

quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?

Solução: Temos h´(t) = 0,06t

2/3 + 0,3t

1/2 e, portanto, a altura da árvore após t anos será dada por

C

t t

h t t t dt +

×

+

×

= + = ∫

3

2 3,0

5

3 06,0

( ) 06,0( 3,0 )

3/5 2/3

3/2 /1 2

.

Como h(0) = 0,6, segue que C = 0,6 e, substituindo na expressão de h, temos

6,0

3

2 3,0

5

3 06,0

( )

3/5 2/3

+

×

+

×

=

t t

h t . Assim, após 27 anos a árvore medirá h(27) = 8,748 +

28,059 + 0,6 = 37,41 metros.

Mudança de variável: Se f é uma função que se apresenta na forma ) f (x) = g(u(x))u (' x , ou seja,

se na expressão de f aparecer uma função e sua derivada, então a sua integral em relação a x pode ser

calculada do seguinte modo: ∫ ∫ ∫

f ( , onde x) dx = g(u(x))u (' x) dx = g(u) du du = u (' x)dx .

Este método de integração é chamado de mudança de variável, no qual mudamos a variável

x para u, calculamos a integral em relação a u e depois retornamos a resposta para x. 114

Exemplos:

1) Calcule as integrais abaixo:

a) ∫

+

dx

x

x

1

2

2

Seja u(x) x 1 du 2x dx 2

= + ⇒ = . Substituindo no integrando, temos:

∫ ∫

= = + = + +

+

u C x C

u

du dx

x

x

ln ln( )1

1

2 2

2

, já que x

2

+1 > 0 para todo x.

b) ( )

dx

x

x

∫

2

ln

Seja dx

x

u x x du 1

( ) = ln ⇒ = . Substituindo no integrando, temos:

( )

∫ ∫

= = + = +C

x

C

u

dx u du

x

x

3

ln

3

ln 3 3

2

2

.

c) ∫

cos ( − )2

2 t

t

e

e dt

Seja u t e du e dt t t

( ) = − 2 ⇒ = . Substituindo no integrando, temos:

u du tg u C tg e C

u

du

e

e dt t

t

t

= = = + = +

−

∫ ∫ ∫sec ( ) ( )

cos ( )2 cos

2

2 2

.

d) ∫

x cos(x ) dx 4 5

Seja

5

( ) 5

5 4 4 du

u x = x ⇒ du = x dx ⇒ x dx = . Substituindo no integrando, temos:

u du senu C sen x C

u du

x x dx = = = + = + ∫ ∫ ∫

( )

5

1

5

1

cos

5

1

5

cos cos( )

4 5 5115

EXERCÍCIOS

1) Encontre a integral das funções abaixo e verifique se os cálculos estão corretos, derivando o

resultado:

a) 3

f (x) = x + x b) /1 4 4/3

f (t) = 5t − 7t

c)

u

u u

f u

3 2

2

( )

+

= d)

x

x x

g x

1

( )

2

+ +

=

e)

y y

f y y

2 1

( ) 3 3

= − + f) ln 2

6

( ) = 2 + +

u

h u e

u

g) ) ( ) 3sec (

2

f x = x h)

( )

cos( )

( )

sen t

t

v t =

i) f (x) = tg(x) j) 1

2

( ) 2

−

=

x

f x xe

k) ( )

5 2

f (t) = tt +1 l) ( )2 3

2

5

( )

+

=

y

y

f y

m)

x

x

f x

exp( )

( ) = n)

x

x

f x

ln(5 )

( ) =

o) ( ) 3( )

2 3

f x = x sen x p) ( ) 3 8

2

f t = t t +

2) Seja f(x) o número total de itens que uma pessoa consegue memorizar, x minutos após ser

apresentado a uma longa lista de itens. Os psicólogos chamam a função y = f(x) de curva de

aprendizado e a função y´(x) = f ´(x) de taxa de aprendizado. O instante de máxima eficiência é

aquele para o qual a taxa de aprendizado é máxima. Suponha que a taxa de aprendizado seja dada

pela expressão 25 ´( ) 10(1,0 12 6,0 ), 0

2

f x = + x − x ≤ x ≤ .

a) Qual é a taxa de aprendizado no instante de máxima eficiência?

b) Qual é a função f(x) ?

c) Qual é o maior número de itens que uma pessoa consegue memorizar?

3) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 3 + 2t + 6t

2

m/min. Que distância o corpo percorre no segundo minuto? 116

4) Depois que os freios são aplicados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por

segundo por segundo. Se o carro está a 65 km/h (18 m/s) quando o motorista pisa no freio, que

distância o carro percorre até parar?

5) De acordo com uma das leis de Poiseuille para o fluxo de sangue em uma artéria, se v(r) é a

velocidade do sangue a r cm do eixo central da artéria, a taxa de variação da velocidade com r é

dada por v´(r) = - ar, onde a é uma constante positiva. Escreva uma expressão para v(r) supondo

que v(R) = 0, onde R é o raio da artéria.

6) O valor de revenda de uma certa máquina diminui a uma taxa que varia com o tempo. Quando a

máquina tem t anos de idade, a taxa com que o valor está mudando é -960 e

-t/5 reais por dia. Se a

máquina foi comprada nova por R$ 5.000,00, quanto valerá 10 anos depois?

7) Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio no ar, L(t), é de 0,25 partes por

milhão (ppm) às 7h. De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de ozônio t horas

mais tarde estará variando à razão de

2

36 16

24,0 03,0

(' )

t t

t

L t

+ −

−

= ppm/h.

a) Expresse a concentração de ozônio em função de t. Em que instante a concentração de

ozônio é máxima? Qual é a máxima concentração?

b) Faça o gráfico de L(t) e, baseado nele, responda as perguntas do item a). Determine em que

instante a concentração de ozônio é a mesma que às 11h.

8) Uma empresa montou uma linha de produção para fabricar um novo modelo de telefone

celular. Os aparelhos são produzidos à razão de 











+

= −

2 5

.1 500 2

t

t

dt

dP unidades/mês.

Determine quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês.