Desvio Padrão

Significado do desvio padrão

De um modo geral, o desvio padrão representa a mais clássica medida de dispersão da estatística. Sua associação ao valor da média, somado ou subtraído, permite encontrar e determinar as frequências relativas dos valores analisados. Uma metodologia razoavelmente simples para entender a distribuição de um conjunto de dados é fornecida pelo Teorema de Chebyshev.

Teorema de Chebyshev: para qualquer grupo de valores de uma amostra ou uma população, a proporção mínima de valores que se encontram dentro de k desvios padrões ao redor da média é pelo menos igual a [1 - (1/k2)], sendo k uma constante maior que 1.

Aplicando a fórmula do Teorema de Chebyshev, é possível construir a seguinte tabela de valores de k e proporções encontradas. Por exemplo, se ao valor da média for somado e subtraído 1,2 desvio padrão, a proporção mínima encontrada dos valores será igual a 0,31 ou 31%.

Valor de k 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,5 3 3,5 4

Proporção de elementos 0,31 0,49 0,61 0,69 0,75 0,84 0,89 0,92 0,94

Outro exemplo de aplicação do teorema de Chebyshev: uma empresa analisou suas vendas diárias s dois últimos anos. Encontrou uma média igual $1.700,00 e um desvio padrão igual a $ 200,00. Se a empresa desejasse construir um intervalo que contivesse pelo menos 80% dos valores das vendas, qual seria este intervalo?

Aplicando a fórmula do Teorema de Chebyshev e sabendo que o percentual mínimo desejado é de 80%:

Pmin. = 1 – 1 0,80 = 1 – 1 k = 2,2361

k2 k2

Assim, o intervalo corresponderia à média soma-a e subtraída de 2,2361 desvios padrões. Ou:

Média – 2,2361 x Desvio padrão < Vendas < Média + 2,2361 x Desvio padrão

1.252,78 < Vendas < 2.147,22

O Teorema de Chebyshev permite encontrar as porcentagens mínimas dos valores situados no interno construído através da média e do desvio padrão. Porém, em muitos casos, a associação da média e do desvio padrão e a construção de intervalos se dão através da aplicação do modelo de De Moivre-Laplace-Gauss, expresso através de um modelo teórico de distribuição de probabilidades, conhecido como distribuição normal.

Através de uma regra prática, geralmente envolvendo a construção de limites com um, dois e três desvios padrões, determinam-se os seguintes intervalos:

a) x ± 1s : nas distribuições simétricas com distribuição de frequências em forma de sino, 68% dos valores deverão estar contidos em um intervalo de um desvio padrão em torno da média. Para distribuições assimétricas com acentuada inclinação para um dos lados, a porcentagem se aproxima de 90%;

b) x ± 2s : nas distribuições simétricas com distribuição de frequências em forma de sino, 95% dos valores deverão estar contidos em um intervalo de dois desvios padrões em torno da média. Para distribuições assimétricas com acentuada inclinação para um dos lados, a porcentagem se aproxima de 100%;

c) x