Direito E Legislação

ANHANGUERA EDUCACIONAL

ATPS – CÁLCULO III

NOME R.A. CURSO

ANDRE RICARDO C. 4440883230 AUTOMAÇÃO

ANDERSON M. DA SILVA 3721668014 MECÂNICA

THIAGO M. LAUDISSI 4255827514 AUTOMAÇÃO

GUSTAVO V. PINHEIRO 4445884802 MECÂNICA

JADERSON S. FAVARO 3708626031 MECÂNICA

Professor: Rogério Pizzinatto.

4º Semestre de Engenharia – Sala A

02 de outubro de 2013.

SUMÁRIO

1 Etapa 1 3

1.1 Passo 1 3

1.2 História e Surgimento da Integral 3

2 Passo 2 5

2.1 Desafio A 5

2.2 Desafio B 5

2.3 Desafio C 6

2.4 Desafio D 7

3 Passo 3 8

1 Etapa 1

1.1 Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

1.2 História e Surgimento da Integral

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito, matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.

Muitas civilizações primitivas conheciam as fórmulas para a área de polígonos como quadrados, retângulos, triângulos e trapézios. Contudo, os matemáticos primitivos se deparavam com muitas dificuldades para encontrar fórmulas para a área de regiões com contornos curvilíneos, das quais o círculo é o exemplo mais simples.

O primeiro progresso real no trato com o problema geral da área foi obtido pelo matemático grego Arquimedes, que obteve área de regiões delimitadas por arcos de círculos, parábolas, espirais e vários outros tipos de curvas, usando um procedimento genial mais tarde denominado método de exaustão. Esse método, quando aplicado ao círculo, consiste na inscrição de uma sucessão de polígonos regulares no círculo, permitindo que o número de lados dos polígonos cresça indefinidamente. À medida que cresce o número de lados, os polígonos tendem a “exaurir” a região do círculo e suas áreas se aproximam cada vez mais da área exata do círculo.

Embora o método dos retângulos seja intuitivamente atraente, os limites que deles resultam somente podem ser calculados em certos casos. Por esse motivo, o progresso no problema da área ficou em um nível rudimentar até a segunda metade do século XVII, quando Isaac Newton e Gottfried Leibniz independentemente descobriram uma relação fundamental entre áreas e derivadas. Newton chamava seu método de fluxions e fluents (equivalentes à Derivada e Integral, respectivamente), ele formalizou e enunciou o Teorema Fundamental do Cálculo que relaciona a derivada com a integral. Ele montou uma extensa tabela de integrais de funções algébricas, e as funções que não conseguiu desenvolver fórmulas inventou técnicas geométricas de quadratura. Muitas das técnicas de integração utilizadas até hoje foram desenvolvidas por ele, incluindo o método da substituição de variáveis e a integração por partes.

Leibniz usava a integral como uma soma, em que y representava à ordenada da curva e dx a diferença entre duas abcissas consecutivas então, por suas próprias palavras “represento a área de uma figura pela soma de todos os retângulos infinitesimais limitados pelas ordenadas e diferenças das abcissas” isto é: ∫ ydx. (Gottfried Wilhelm Leibniz).

Por ser uma soma, Leibniz usou o símbolo ∫ que representa o “s”, primeira letra da palavra soma do latim (summa). É dele também a notação “d” do latim (differentia) para representar a derivada, ambas são usadas até hoje. A palavra Cálculo também foi utilizada primeira por ele, de calculus, um tipo de pedra utilizada pelos romanos para fazer contas.

2 Passo 2

2.1 Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: :

= da da + da = * + 3 da + 3

da = * - + 3ln + C = - + 3ln + C

Resposta Correta: Alternativa (b)

F(a) = - + ln + C

a)F(a) = - + 3ln + C

b)F(a) = - + 3ln + C

c)F(a) = 12 + + ln + C

d)F(a) = + + 3ln