Direitos Humanos

Atps de calculo III

Índice:

Introdução .................................................................................................................. 4

objetivo ...................................................................................................................... 5

Historia dos surgimentos das integrais .................................................................... 6

Passo 2, desafio A,B e C.............................................................................................. 7

Desafio D, Passo 3 e Passo 4....................................................................................... 8

Etapa 2 Passo 2 e Passo 3 ........................................................................................... 9

Conclusão e referência................................................................................................ 10

Introdução

O atps mostra o inicio da história da integral e seus principais autores .

A integral foi um calculo descoberto para o uso de calculo de área exato .E o atps mostra esses cálculos usados na pratica da vida real, e em alguns desafios que nos treinam para compreendermos a matéria . dentro de todos os desafios os cálculos de cada passo nos dão um numero que equivale as respostas dadas dos desafios , esses números ao final Dara m a resposta do desafio do atps .

Objetivos

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos instrumentais a engenharia.

Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.

Identificar, formular e resolver problemas de engenharia.

Realizar desafios para melhor compreender a matéria calculo III.

Historia dos surgimentos das integrais

Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independetes.

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas.

Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física.

Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje.

O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+

(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento”infinitesimal”.

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no

século XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na

antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia

simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um

“calculo integral” sistematizad

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

a³3+ 3a³+ 3a da?

13a³+3 a-3+ 31a

a412+3.a -2+3lna+∁

a412-32a²+3lna+ ∁

Resposta Correta: Alternativa B

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés são:1000dq+50d.dq=

C(q)=1000q+50q22=

C(q)=1000q+25q2+c=

C(q)=1000+25q2+10000

A alternativa correta correspondente ao desafio B é a ( a )

Desafio C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Ct=16,1.e0,07t= Ct=16,1.e0,07t=

C2= 16,1.e0,07.2= C2= 16,1.e0,07.4=

C2=18,52 bilhões C2=21,30 bilhões

18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

A alternativa correta correspondente ao desafio C é a ( c )

Desafio D

A área sob a curva y=ex2 de x=-3 a x=2 é dada por:

-32ex2dx

u=x2

du= ddxx.2-x.ddx222=24dx=

du=12dx=

2du=dx

-32eu2.du=

2-32eudu=2.ex22-3=2.e22-2.e-32=5,43-0,44=4,99

A alternativa correta correspondente ao desafio D é a ( a )

Para o Desafio A:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi à alternativa (b) que direciona a associação ao número 3.

Para o Desafio B:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi à alternativa (a) que direciona a associação ao número 0.

Para o Desafio C:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi à alternativa (c) que direciona a associação ao número 1.

Para o desafio D:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi à alternativa (a) que direciona a associação ao número 9.

A sequência dos numero que encontramos foi 3019, portanto esse resultado é quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente visando os cálculos dos quatros primeiros desafios que compõe a nossa ATPS.

2 etapa

Passo 1

Integral por partes e substituição

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.

A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:

A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser maisfacilmente integrada.

passo 2

Considerem as seguintes igualdades:

1-(3-t).(t²-6t)4dt-(t²-6t)5+c/10 2-

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

(-(t^2-6t)^4+C)/10

3-t . t2-6t4dt

w = t² - 6t w4- dw2

dw = 2t – 6 dt -12 w4 dw

dw = 2(t – 3) dt -12 ∙ w55+ C

-dw2=t-3dt t2-6t510+ C

05tt+4 dt

05t dtt+4

2 t-2 ∙43 ∙ 12 t+4

2t-83= t+4

2 ∙5-83= 5+4 2 ∙0-83= 0+4

-2 • 3 - 163 ∙2

-6 -323= -10,67

-6+10,67=4,67

A alternativa certa é a letra “ A “ pois as duas alternativas estão corretas.

Encontramos como resposta do passo 3 o numero “ 4 “ pois resolvendo as integrais através do método de substituição chegamos aos valores desejados.

etapa 3

Passo 1

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.

passo 2

Desafio A

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (figura 2). As áreas de S1 e S2 são respectivamente 0,6931 u.a e 6,3863 u.a.

Figura 1

S1=021x=lnx02→ln2-ln0=0,6931 u.a

Figura 2

S24=044x=4.lnx04→4.ln4-4.ln0=5,5452 u.a

S2=4.5,5452=22,1808 u.a

Podemos afirmar que:

(c). (I) éverdadeira e (II) é falsa

Figura 1.

Área I.

A_1=1x1/2=0,5 u.a.

Área II.

A_2=1x0.5=0.5 u.a

Área III.

A_3=∫_1^2▒(1 )/x dx= 0,693 u.a.

Área Total.

A_t=A_1+A_3-A_2

A_t=0.5+0,693-a,5=0,693 u.a.

Figura II.

Área I.

A_1a=4x1=4 u.a.

A_1b=∫_1^4▒4/x dx=5,454 u.a.

A_1=A_1a+A_b

A_1=4+5,454=9,454 u.a

Área total.

A_t=4xA_1

A_t=4x9,5454=38,18 u.a

Podemos afirmar que:

(I) e (II) são verdadeiras.

(I) é falsa e (II) é verdadeira.

(I) é verdadeira e (II) é falsa.

(I) e (II) são falsas.

A afirmativa “C” está correta.

Passo 3.

Marque a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio associe:

Associem o número 6, e a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 1, e a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 8, e a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, e a resposta correta for a alternativa (d).

O número associado de acordo com os resultados obtidos nessa etapa é o número “8”.

etapa 4

Passo 1

Volume de solido de revolução

Hoje podemos obter muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Cálculo, os métodos descritos a seguir são os mais básicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente, no decorrer dos próximos volumes aprenderemos a calcular formas mais complexas. Porhora, os cálculos que aqui serão apresentados já fornecem uma gama de aplicações bem ampla no nosso mundo onde a indústria usa cada vez mais curvas em seus produtos, obviamente teremos curvas matematicamente determináveis para estes casos, uma vez que o homem geralmente usa métodos de computação para criar seus produtos hoje em dia.

Passo 2

Desafio A.

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por y=4√x de 1/4≤x≥4 é: 2π/3 .(128√2-17√17)u.a. . Está correta essa afirmação?

A_1=∫_(1/4)^4▒〖4√(x )〗 dx=20,995 u.a.

A_2=2π/3.(128√2-17√17)=232,281 u.a.

A_1≠A_2

Afirmativa incorreta.

O numera associado para esse desafio é o número “9”.

Desafio B

Qual é o volume do solido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y=2 da região R delimitada pelos gráficos das equações:

y = sen x , y=(sen x)3 de x=0 até π/(2 ) ?

3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

3,26 u.V. (b) 4,67 u.V. (c) 5,32 u.V. (d) 6,51 u.V. (e) 6,98 u.V.

V=π∫_0^(π/2)▒〖[(sin⁡x )^6-4(sin⁡x )^3-(sin⁡x )^2+4sin⁡x ] dx=〗

V=π{-((sin⁡x )^5 cos⁡x)/6+5/6 [((sin⁡x )^3 cos⁡x)/3+3/4 (1/2 x-1/4 sin⁡2x )]-4[-((sin⁡x )^2 cos⁡x)/3+2/3 (-cos⁡x )]-1/2 x-1/4 sin⁡〖2x+4(-cos⁡x )|■(π/2@0)┤= 〗 ┤

V=π[0-(4×0)+0-4-(23,562/48)-4(2/3)+(-1,57/2)-0]

V=π[-4-0,49+2,66+0,785]

V=π(1,309)

V=3,26 u.V.

A afirmativa “a” está correta.

Para o desafio associe:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

O número associado para esse desafio é o número “8”.

Conclusão:

De acordo com os cálculos desenvolvidos nesta ATPS a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto será de:

30.194.898 m^3.

Bibliografia

HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al.

Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro.