Distribuição Normal

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A sua forma lembra um sino e média, moda e mediana são coincidentes, ou seja, se sobrepõem

Por se tratar de uma distribuição de probabilidades (variável analisada no eixo horizontal e respectiva probabilidade no eixo vertical) a área entre a curva e o eixo horizontal é igual a 1. A curva normal é simétrica em relação à média, isto é, há 50% de probabilidade de a variável ser maior que a média e 50% de ser menor.

A distribuição normal é apropriada para variáveis contínuas, enquanto, como já vimos, a distribuição binomial é própria para variáveis discretas, embora para amostras grandes (n > 30) podemos usar com boa precisão a curva da distribuição normal (Curva de Gauss) para o cálculo de sua probabilidade.

Os parâmetros da distribuição normal se referem à sua população e são, média (μ) e a variância (σ ²).

Portanto, em função dos parâmetros μ e σ ², há infinitas distribuições normais.

Podem ser com mesma média (μa = μb), mas diferentes σ ² (σ b² > σ a²), ou com médias diferentes, porém mesma variância (σ b² = σ a²). Como é demonstrado na figura a seguir:

Quando escrevemos x N (μ; σ²), estamos dizendo que a variável x se distribui normalmente com média μ e variância σ². Por exemplo: N (20;9) significa distribuição normal de média μ = 20 e variância σ² = 9.

Uma propriedade interessante é a seguinte, sabendo-se que a raiz quadrada da variância _² é o desvio-padrão σ:

As áreas (μ ± σ), (μ ± 2σ) e (μ ± 3σ) nos dizem que a média μ mais ou menos um desvio-padrão σ nos dá 68,26% de probabilidade de ocorrer; mais ou menos dois desvios-padrão 2σ cobre 95,44% das probabilidades e mais ou menos 3 desvio-padrão 3σ praticamente cobrimos todas as possibilidades (99,74%).

Os valores maiores que μ + 3_ ou menores que μ - 3_ só têm

chance de ocorrer em 0,26% das vezes.

Ex: N (20,9) nos dá μ = 20 e σ = σ9 = 3

μ ± σ = 20 ± 3 = 17 a 23 nos diz que 68,26% de probabilidade de o valor da variável estar entre 17 e 23;

μ ± 2σ = 20 ± 6 = 14 a 26 nos diz que 95,46% de probabilidade de o valor da variável estar entre 14 e 26;

μ ± 3σ = 20 ± 9 = 11 a 29 nos diz que 99,73% de probabilidade de o valor da variável estar entre 11 e 29;

Um valor para a variável menor que 11 e maior que 29 só tem

0,26% de chance de ocorrer.

Esta curva é assintótica em relação ao eixo horizontal, ou seja, ela se aproxima em ambas as caudas (esquerda e direita) do eixo horizontal, sem, contudo, tocá-lo.

Há a necessidade de se tabelar a probabilidade de uma variável distribuída normalmente, porém, como já foi dito, existem infinitas distribuições normais a depender da média μ e da variância σ², o que implicaria em infinitas tabelas.

Para resolver isto, criou-se a normal reduzida N(0,1), isto é, μ = 0 e σ² = 1, que tem todos os seus valores tabelados e todas as outras distribuições normais que tenham pelo menos um dos parâmetros (μ ou σ²) diferentes dos parâmetros da normal reduzida, através de um processo de transformação, podem se utilizar desta tabela.

Vejamos:

1º) Para uma distribuição normal reduzida, qual a probabilidade de um valor estar entre -1,25 e 0?

P(-1,25 < z < 0) = ?

P(-1,25 < Z < 0) = a área hachurada entre -1,25 e zero.

A partir daí, recorremos à tabela 1 que consta do apêndice deste material. Nela há um detalhe: os valores tabelados para a área hachurada estão localizados à direita de 0, mas não há problema algum, pois uma vez que esta distribuição é simétrica em relação à média zero, o valor tabelado para 1,25 é idêntico ao valor que acharíamos para -1,25.

P(-1,25 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,25).

Portanto, para consultarmos a referida tabela percorremos