Distribuição Normal

Lista 5 de Estatística e Probabilidade

Variável Aleatória Contínua, Modelos de Distribuições Contínuas

Variável Aleatória Contínua

1) Considere a função apresentada na figura abaixo.

Função densidade de probabilidade para o exercício 1

a) Encontre o valor de h para que f(x) seja uma função de densidade de probabilidade de uma

variável aleatória X (note que o triângulo é isósceles!).

b) Determine a equação que define f(x). c) Calcule P(1 ≤ X ≤ 3).

d) Calcule E(X) e Var(X). e) Encontre a função de distribuição acumulada de X.

Rs: a) h = ½ b) f(x) = x/4 se 0 ≤ x < 2 c) ¾ d) E(X) = 2 e σ² = 2/3 e) F(X) = 0 se x<0

1-x/4 se 2 ≤ x ≤ 4 x²/8 se 0 ≤ x < 2

0 se x < 0 ou x > 4 x-1-x²/8 se 2 ≤ x ≤ 4

1 se x > 4

2) Ache a função repartição da função f(x) =

ଷ

ଶ

ݔ − 1)

ଶ), 0 < ݔ < 1

0, caso contrário

Resposta: F(x) = 0 para x<0

x(3-x²)/2 para 0 ≤ ݔ < 1

1 para x ≥ 1

3) Seja f(x) = ଵ

଺

3 ≥ ݔ ≥ 0 ݁ݏ ݇ + ݔ

0, em qualquer outro caso

a) Encontre k b) encontre P(1≤ ݔ ≤ 2)

Resposta: a) 1/12 b) 1/3

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Modelos de Distribuição Normal

4) Faça z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela):

a) P(0 ≤ z ≤ 1,44) b) P(-0,85 < z < 0) c) P (-1,48 < z < 2,05)

d) P(0,72 < z < 1,89) e) P(z ≥ 1,08) f) P(z ≥ - 0,66)

Respostas: a) 0,4251 b) 0,3023 c) 0,9104 d) 0,2064 e) 0,1401 f) 0,7454

5) A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio-padrão 45 dias.

Calcular a probabilidade desse componente durar:

a) entre 700 e 1000 dias b) mais que 800 dias c) menos que 750 dias

d) qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos

componentes?

Respostas: a) 1 b) 0,8665 c) 0,0132 d) 776 dias

6) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio-padrão 5,5

kg. Encontre o número de alunos que pesam:

a) entre 60 e 70 kg b) mais que 63,2 kg

Respostas: a) 380 b) 389

7) X é uma variável aleatória contínua, tal que X = N(12, 5). Qual a probabilidade de uma

observação ao acaso:

a) ser menor do que -3 b) cair entre -1 e 15

Respostas: a) 0,00135 b) 0,721086

8) O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média

de R$180,00 com desvio-padrão de R$25,00. Pede-se:

a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$150,00 e R$178,00;

b) dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão 96% dos salários?

Respostas: a) 0,3530 b) 128,75 ≤ X ≤ 231,25

9) Considere uma variável aleatória X com distribuição N(μ, σ). Determine μ e σ sabendo que:

P(X < 3) = 0,69146 e P(X < 4) = 0,84134

Resposta: μ = 2 e σ = 2

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Distribuição Uniforme

10) Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [1,4]. Calcular:

a) a probabilidade