Distribuição Normal

A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre.

Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal.

Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).

Se X segue uma distribuição normal, X ~ N(\mu, \sigma^2), então aX + b ~ N(a\mu + b, a^2 \sigma^2).

Se X e Y são variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição normal, então a soma U = X + Y, a diferença V = X - Y ou qualquer combinação linear W = a X + b Y também são variáveis aleatórias com distribuição normal.

É fácil construir exemplos de distribuições normais X e Y dependentes (mesmo com correlação zero) cuja soma X + Y não é normal. Por exemplo, seja X uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então fixando-se um número real positivo a, seja Ya definida como X sempre que |X| < a e -X sempre que |X| ≥ a. Obviamente, Ya também é uma normal e X + Ya é uma variável aleatória que nunca pode assumir valores de módulo acima de 2 a (ou seja, não é normal). Quando a é muito pequeno, X e Y são praticamente opostas, e sua correlação é próxima de -1. Quando a é muito grande, X e Y são praticamente idênticas, e sua correlação é próxima de 1. Como a correlação entre X e Ya varia continuamente com a, existe um valor de a para o qual a correlação é zero.

A soma de uma grande quantidade de variáveis aleatórias (com algumas restrições) tende a uma distribuição normal - o significado mais preciso disto é o Teorema do Limite Central.

A distribuição normal é infinitamente divisível, no seguinte sentido: se X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal e n é um número natural, então existem n variáveis aletórias X_1, X_2, \ldots X_n\,, independentes e identicamente distribuídas, tal que

X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\,