EQUAÇOES DIFERENCIAS ETAPA 1 E 2

Resumo

Inicialmente vamos explicar a introdução sobre a teoria das equações

diferenciais. Apresentaremos noções ao estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias.

Um estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e algumas aplicações destas em outras ciências.

Desenvolvendo o estudo das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e dos sistemas de equações diferenciais, utilizando o conteúdo discutido em aplicações da Física e da Biologia.

Introdução.

A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa

pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações,

além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente

as equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas

ordinárias – em relação a uma variável).

Tema.

Equações Diferenciais Ordinárias (E. D. O).

Histórico

Isaac Newton Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton utou relativamente pouco na área das equações diferenciais, Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem em que f(x,y) é um polinômio em x e y . Leibniz foi autodidata em matemática, ele compreendia o poder de uma noção de matemática, descobriu método de separação de uma equação .

No século XVIII , um dele foi Jakob Bernoulli e seu irmão Johann Bernoulli que se aprofundou no conceito de calculo de Leibniz, ainda no mesmo século Leonhard Euler conseguiu identificar o papel e as estruturas das funções , propriedades e o significado das funções exponenciais, logarítmica, trigonométrica, também desenvolveu uma teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações de coeficiente constantes .

Equação Diferencial

Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada.

Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.

+3 +2y = 0 ; xy’+y = 3 ;y”’+2(y”)+y’= cos x

Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.

= x² + y

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

Se numa equação diferencial da forma M( x, y )dx+ N( x, y )dy = 0 , é possível decompor os coeficientes M( x, y ) e N( x, y )em fatores tais que as variáveis x e y aparecem separadas, isto é, M( x, y ) = a( x ).b( y ) e N( x, y ) = c( x ).d( y ), a equação classifica-se de variáveis separáveis. Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma canónica M( x, y )dx+ N( x, y )dy = 0 para a forma a( x ).b( y )dx +c( x ).d( y )dy= 0 Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas.

Assim vem: dx + dy = 0

Integrando:

dx + = c

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÉNEAS

Uma função diz-se homogénea, de grau n, nas variáveis x e y, se para todo o real l se tiver f( x, y ) f( x, y ).

Consideremos uma equação diferencial na forma canónica M( x, y )dx+ N( x, y )dy = 0 e sejam M( x, y ) e N( x, y ) funções homogéneas e do mesmo grau, a equação classifica-se de equação homogénea. Resolução de Equações Diferenciais Homogéneas. Para resolver uma equação diferencial homogénea fazemos a substituição y = x t. Substituindo a variável y teremos de substituir dy. Como y = x t vem d y = t d x + x d t, diferencial de uma função de duas variáveis. A equação transformada que se obtém da equação homogénea é uma equação de variáveis separáveis.

T =

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES

Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por y'+P( x )y = Q( x ) com P(x) e Q(x), funções contínuas. Se Q(x)=0, y'+P( x )y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação de variáveis separáveis. Se Q(x) ¹0 , a equação linear é não homogénea, completa ou com segundo membro.

Y= [ Q(x) dx + C1]

EQUAÇÕES DE BERNOUILLI

Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma

simples de apresentar algum objeto matemático, podendo ser uma matriz, uma equação.

y'+P(x)y =Q(x)y ,com P(x) e Q(x), funções contínuas e n constante.

Resolução de Equações de Bernouilli

Para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os

membros da equação por seguidamente fazemos a mudança de variável

y = [ Q(x) dx + C1]

Aplicações da Equações Diferenciais

CIRCUITOS ELÉTRICOS.

Em nossa vida, estamos cercados por aparelhos que são constituídos de sistemas elétricos, por exemplo, um controlador da velocidade de um automóvel necessita de certos circuitos elétricos para funcionar. As leis básicas que regem os circuitos

elétricos são as de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tais leis são

baseadas no Princípio de Conservação da Carga Elétrica e no Princípio da Conservação da Energia.

A modelagem matemática de