EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

“EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICAÇÕES E MODELAGEM”

DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES. PROFESSORLANFREDI.

São José dos Campos, 02 de Outubro de 2013.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

APLICAÇÕES E MODELAGEM

ETAPA 1

Passo 1

Pesquisa sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem de sistemas em matemática estuda a simulação de sistemas reais para prever o comportamento dos mesmos estabelecendo um método de cálculos. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno por equações diferenciais, é feita através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), monta-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação buscar uma possível descrição do fenômeno.

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável.

A integração é um processo que exige certa habilidade e técnica, ele possibilita análises de cálculos diversos, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, com tomadas técnicas diversas, concordantes em resultado numérico.

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Obtendo-se o resultado esperado, o problema está resolvido. O método de conjecturar e verificar é útil na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira

Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx

MLA 7

C

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem.

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveis a uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial pode fatorar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:

Chama-se equação diferencial linear de 1ªordem a uma equação da forma

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR.

É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função só de x, I(x, y)= e ∫P(x) dx

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx

Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é

e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x)

Note que o primeiro membro da equação acima é igual a

(y e ∫P(x)dx)

Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja,

y e ∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dxdx

Passo 4

Modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais

Circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t).

Para modelar um sistema elétrico é necessário conhecer os seus componentes elétricos passivos.

Relação elementar de voltagem:

Resistor (Lei de Ohm)

eA – eB = R iR

Indutor

eA – eB = L

Capacitor

eA – eB =

L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância