ESTUDOS COMPLEMENTARES

1) Resposta: (E) 1,0 J

Igualar a força elástica com a força peso:

IFelI = IPI

Força elástica é a constante elástica (k) x deformação (ye) igual a massa (m) x gravidade (g)

K x ye = m x g

Substituindo os valores que são dados, encontramos o valor da constante elástica (k):

K = (m x g) / ye

K = (4 x 10) / 0,05 = 800 N/m

Com todos os valores, podemos calcular a energia cinética:

EC (y) = ((k x A2) / 2) – ((k x y2) / 2)

EC (y) = ((800 x (0,05)2) / 2) = 1 J

2) Resposta: (B) 0,648 m/s

Com a equação da energia cinética, substituímos os valores que temos e montamos uma equação da energia cinética em função da deformação.

EC (y) = ((k x A2) / 2) – ((k x y2) / 2)

EC (y) = ((800 x (0,05)2) / 2) – ((800 x y2) / 2)

EC (y) = 1 – 400 x y2

Substituindo o valor da deformação por 0,02m encontramos o valor da energia cinética.

EC (0,02) = 1 – 400 x (0,02)2 = 0,84 J

Utilizando outra equação da energia cinética e substituindo os valores que temos, encontramos a velocidade:

EC = (m x v2) / 2

v = 0,648 m/s

3) Resposta: (D) 1,46 cm

Equação da posição que é a amplitude (ym) x cosseno Ф

Y(0) = ym x cos Ф

Equação da velocidade que é igual menos a amplitude x ômega zero.

v(0) = - ym x Ѡ0 x sen Ф

Tangente: tan Ф = (-1/Ѡ0) x (v(0) / y(0))

Isolando o seno e o cosseno dessas equações e elevando tudo ao quadrado e unindo essas equações, chegamos à equação que queríamos:

Ym2 = y(0)2 + (v(0) / Ѡ0)2

Substituindo os valores que temos, chegamos na amplitude:

ym2 = (1,1)2 + (15 / 5π)2 = 1,46 cm

4) Resposta: (A) 22,9 cm/s

Pegando a equação da velocidade que é a derivada da equação da posição, conseguimos calcular a velocidade máxima:

vmax = ym x Ѡ = 1,46 x 5π = 22,9 cm/s

5) Resposta: (D) 0,124 m

Com os dados fornecidos, calcula-se:

Ѡ0 = 20 rad/s ; ɣ = 4 rad/s

O grau de amortecimento:

Β = ɣ/Ѡ0 = 4/20 = 0,2 < 1 Subamortecido

Utilizando a equação do espaço: y(t) = e-4t x A x cos (19,60t + ϕ0)

Substituindo os nessa equação, conseguimos calcular a amplitude.

y(0) = A x cos (ϕ0) = 0,492

A= 0,492 / cos (-0,89) = A = 0,782 m

Utilizando a equação da velocidade:

v(t) = e-4t x A x 20 x cos (19,60t + ϕ0 + 1,77)

v(0) = A x 20 x cos ( ϕ0 + 1,77) = 9,97

A x cos (ϕ0 + 1,77) = 0,499

A x cos (ϕ0) = 0,492

((cos ϕ0 x cos 1,77) / cos ϕ0) – ((sen ϕ0 x sen 1,77) / cos ϕ0) = 1,014

ϕ0 = -0,891 rad

Calculado ϕ0, podemos calcular a posição no instante 0,4s.

y(t) = e-4t x A x cos (19,60t + ϕ0)

y(0) = 0,492 m ; y(0,4) = 0,124 m

6) Resposta: (E) 0,126s

Através da equação da posição:

y(t) = e-4t x 0,782 x cos(19,6t – 0,891), para a posição de equilíbrio, pegamos somente a equação:

cos(19,6t – 0,891) = 0;

Trabalhando nessa equação :

19,6t – 0,891 = π/2

t = 0,126s

7) Resposta: (D) 3.200 N/(m/s)

Primeiro calculamos a frequência angular: Ѡ20= k/m = √(32000/80) = 20 rad/s

Como estamos trabalhando com sistema critico, através da equação do grau de amortecimento, encontramos β:

β = ɣ/Ѡ0 = 1 - Amortecimento crítico

ɣ = Ѡ0 = 20 rad/s

Utilizando uma outra equação :

ɣ = c/2m

c = 2mɣ = 2x80x20 = 3.200 N/(m/s)

8) Resposta: (B) 0,366s

Trabalhando com a equação da posição:

y(t) = C1e-ɣt + C2te-ɣt, substituindo o valor de t=0, chegamos que:

C1 = 0,1 – condição inicial.

Derivando a equação da posição, chegamos na equação da velocidade:

y´ (t) = C1ɣe-ɣt + C2 e-ɣt + C2t(-ɣ) e-ɣt , substituindo t=0, chegamos:

C2 = 2+C1ɣ

C2 = 4m/s

Com os valores de C1 e C2, monta-se a equação da posição:

y(t) = 0,1e-ɣt + 4te-ɣt, como a condição de equilíbrio é 0,001, temos:

0,001 = 0,1e-20t + 4te-20t

t = 0,366s

9) Resposta: (C) 1,85mm

Trabalhando com as equações dadas, conseguimos chegar na equação resultante.