Engenharia Da Produção

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

TURMA A - 4º SERIE

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Cálculo III

Alex Sandro Rosa Ra: 3333550291

Fábio Ap. Ferreira Moraes Ra: 4246840765

Fábio Batista Marques Ra: 3244562588

Renato Vieira Rodrigues Ra: 3802608548

Robson Henrique Nery Perez Ra: 3730733590

Viviane Ap. Ventura Ra: 3307400286

Profª. Fernando

SOROCABA

Setembro/2013

ETAPA 1

Integral Definida. Integral Indefinida.

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais

indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo um. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa.

Os primeiros problemas matemáticos ligados a integral surgiram com a questão do cálculo de área pelos gregos, ou seja, a quadratura. Foram, também, os gregos responsáveis – mais especificamente, Arquimedes - pelo dito maior teorema do cálculo, o “Teorema de Arquimedes” o qual permitia, a partir de então, calcular-se a área da parábola.

Podemos citar diversos estudiosos que, posteriormente, contribuíram com o desenvolvimento do cálculo integral, destacando-se Barrow que compreendeu o antagonismo entre derivada∕integral, mas não conseguiu formalizar o “Teorema Fundamental do Cálculo” baseado nessa premissa, deixando essa função a Newton.

De todos os grandes estudiosos e pesquisadores que passamos a conhecer com o “História da Matemática” é Leibniz que se destaca em nosso estudo sobre Integral. Após Newton, com estudos não divulgados devido a sua “demasiada sensibilidade e pouca comunicação”, Leibniz surge com disponibilidade e interesse em ensinar, e conseqüentemente, divulgar, seus conhecimentos acerca de cálculo integral.

Foi desta forma que os irmãos Bernoulli tomaram conhecimentos das primeiras bases sobre o tema, podendo (o mais novo, Jean Bernoulli) produzir seus dois primeiros livros sobre integrais.

Diferentemente de Newton, Leibniz passou a compreender a integral como a representação da área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas. Devido a Leibniz ficou conhecido o símbolo ∫, summa, características de toda integral.

Hoje sabemos que da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x). Nesta podemos usar a propriedades as seguintes propriedades:

1ª a integral da soma é a soma das integrais – o mesmo se aplica a diferença:

∫▒〖[ f_((x))±〗 g_((x))] dx= ∫▒〖 f_((x)) dx ± ∫▒g_((x)) dx〗

2ª a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando:

∫▒〖K f_((x)) dx〗=k∫▒f_((x)) dx

3ª A derivada da integral de uma função é a própria função:

d/dx [∫▒f_((x) ) dx]= f_((x))

4ª integração por substituição:

Seja a expressão ∫▒〖g_([f_((x))]) .〖f'〗_((x)) dx〗 através da substituição u = f(x) e u’ = f’(x) ou du/dx= f_((x))

∫▒〖g_([f_((x))]) .〖f'〗_((x)) dx〗= ∫▒g_u du= h[f_((x))]+C admitindo que se conheça ∫▒g_((u)) du

Já o conceito de integral definida pode ser motivado pela consideração da área delimitada pela curva y=f_((x)), o eixo x e as ordenadas em x = a e x = b .

A ideia desta notação é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas

infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma.

Passo 2 (Equipe)

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:∫▒(a^3/3+3/a^3 +3/a) da?

Desafio B

Suponha que um processo de um perfuração de um poço depetroleo tinha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C´(q) = 1000+50q dolares por pé, onde é q e a profundidade em pés.Sabendo que C(o)= 1000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

A resposta do desafio B é a letra (a)

Resposta

C´(q)=1000+50q

∫▒(1000+50q) .dq