Equacoes Diferenciais

Desafio

O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado para o

desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas

permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho

portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o

avanço de dispositivos já existentes, a citar o exemplo de telefones celulares, cuja atual

funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação

telefônica.

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o

avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos

setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde (este último beneficiando-se de

equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem análises mais detalhadas).

O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas

técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de

equações diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.

A relevância deste desafio reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre

a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de

solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento

de dispositivos.

Objetivo do Desafio

Promover o estudo de circuitos elétricos de algum dispositivo por meio de equações

diferenciais e a produção de um relatório a respeito.

Passo 1:

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada, e a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Passo 2:

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência.

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjecturar e verificar da seguinte maneira

Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx

No método de substituição

Parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação

dw= (dw/dx)dx.

Método Por partes A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto.

Passo 3:

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por Primitiva cão de ambos os membros da equação, ou seja.

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fautorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x), h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

E o integral geral dessa equação tem a forma

ʃ = ʃ +C

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem: