Equaçoes Diferenciais

Objetivo do Desafio:

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

ETAPA 1

Esta etapa é importante para fixarmos, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas. Aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

PASSOS:

Passo 1: conceitos de integrais definidas, indefinidas e cálculo de áreas.

O cálculo integral tem uma grande importância na matemática, foi desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria.

Sendo desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. O Cálculo tem nos auxiliado em diferentes áreas de estudo.

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton emCambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemáticoRiemann, pupilo de Gauss).

Definição retirada do site Matemática.com (acesso em 21/09/14)

FUNDAMENTAÇÃO TÉCNICA:

A integral definida nada mais é do que um número: e não depende da variável x, já a integral indefinida, ao contrário, é uma função família de funções. Existe uma conexão entre elas que é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita a valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b . O resultado é um número que depende apenas de a e b e não de x.

A integral indefinida nada mais é do que a operação inversa da derivação. Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de “derivação para trás” ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. Geralmente usam-se as mesmas regras de derivação. No entanto, essas regras são usadas no sentido contrário e levam em particular á “Integração” de polinômios.

Passo 2:

Desafio A:

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

1 ∫ a3 da + 3 ∫ a-3 da + 3 ∫ da

3 a

1 a4 + 3a -2 + 3lna | a | + c

3 4 -2

a4 - 3 + 3ln|a| +c

12 2a 2

Alternativa correta: letra b.

Desafio B:

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C’(q) = 1000 + 50q

dy = 1000 + 50q

dq

dy = 1000dq + 50q dq

∫ dy = 1000 ∫ dq +50 ∫ q dq

y = 1000q + 50 q2 + c

2

y = 1000q + 25 q2 + c c = 10.000

y = 1000q + 25q2 + 10000

Alternativa correta: letra a

Desafio C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

4

∫ ( 16,1 . e0,07t=

2

C(2)=16,1.e0,07t

C(2)= 16,1.e0,07.2

C(1)= 16,1.e0,07.4

C(2)=18,52 bilhões