Equaçoes Diferenciais

Resolver a seguinte equação diferencial:

equação diferencial ordinária resolvida passo a passo

Solução:

Comece separando as variáveis:

[y'=\frac{1+y}{1+x}\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}]

[dy=\frac{(1+y)dx}{1+x}]

[\frac{dy}{1+y}=\frac{dx}{1+x}]

Integre ambos os lados da igualdade:

[\int \frac{dy}{1+y}=\int \frac{dx}{1+x}]

Use a técnica da substituição nas duas integrais:

Na integral do lado esquerdo faça

[u=1+y]

[du=0+dy]

[dy=du]

Analogamente, na outra integral faça

[v=1+x]

[dv=0+dx]

[dx=dv]

Fazendo estas substituições:

[\int \frac{du}{u}=\int \frac{dv}{v}]

Utilize, evidentemente, a mesma regra em ambos os lados:

[ln(u)+C_1=ln(v)+C_2]

[ln(u)=ln(v)+C_2-C_1]

É claro que a diferença entre constantes é outra constante, então podemos escrever:

[ln(u)=ln(v)+C_3]

A expressão acima é equivalente a:

[log_e(u)=log_e(v)+C_3]

Esta útlima expressão, por sua vez é o mesmo que:

[e^{log_e(v)+C_3}=u]

Pelas propriedades das potências:

[e^{log_e(v)}e^{C_3}=u]

Pelas propriedades dos logaritmos:

[ve^{C_3}=u]

Um constante (e) elevada a outra constante (C₄) também é uma constante, logo podemos escrever:

[vC_4=u]

Voltando com as variáveis originais:

[(1+x)C_4=1+y]

Escrevendo o y em função do x:

[1+y=(1+x)C_4]

[y=(1+x)C_4-1]

Chamando a constante apenas de C podemos escrever:

[y=(1+x)C-1] Observação: a resolução acima é um pouco mais curta do que aquilo que, em geral, se pode esperar para uma EDO linear de primeira ordem. Neste caso, a equação já está num formato "bom", o qual nos permite aplicar a regra do produto de imediato. Geralmente, devemos fazer algumas manipulações