Equaçoes Diferenciais

Etapa 1 passo 1

O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM

DE SISTEMAS NATURAIS E OUTROS

RESUMO Este trabalho aborda as possibilidades de modelagem matemática

de sistemas através de equações diferenciais, com ênfase aos sistemas

pertencentes ao ramo das Ciências Naturais. Dependendo do problema de

interesse, esta modelagem pode ser feita de forma analítica ou de forma computacional.

A seleção dos sistemas analisados neste trabalho foi feita, por

um lado, através de um estudo da literatura padrão na área e, por outro, a

partir de entrevistas com os professores de diferentes áreas de pesquisa.

Palavras-chave: Equações diferenciais. Modelagem de sistemas. Ciências

Naturais. Métodos analíticos. Métodos numéricos.

INTRODUÇÃO

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular

a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de

variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a

Dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial

(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo

ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente,

prever o seu comportamento.

A modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais é empregada em varias ocasiões, como na taxa poupulacional, sistemas elétricos, em problemas envolvendo aceleração, consumo, crescimento exponencial, equações de decaimento, juros, concentrações, temperaturas.

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais

diversas áreas do conhecimento. Para citar alguns exemplos de aplicações de

equações diferenciais em Ciências Naturais, temos o problema da dinâmica de

populações, o de propagação de epidemias, a datação por carbono radioativo,

a exploração de recursos renováveis, a competição de espécies como, por

exemplo, no sistema predador versus presa. Fora das Ciências Naturais, as

equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema

financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre

outras.

Algumas aplicações e modelagens.

A taxa de crescimento da espessura da camada de gelo.

Dy/dt=K/Y onde K>0

Usando a separação de variáveis.

∫ Ydy= ∫ Kdt

Y2/2=Kt+c

Modelo logístico

Dp/dt=KP(1-P/l)equação geral logístico

Modelo SIR utilizado em doenças e epidemias

Di/dt=(taxa de suscetíveis que ficam doentes)-(taxa que os infectados são removidos)=Asi-bi

São algumas das aplicações das equações diferenciais para aproximadas resoluções de problemas como por exemplo:

Velocidade de um corpo caindo

Analise de compartimentos como um reservatório

Solucionar a concentração de sal

Crescimento de uma população em função do tempo

Prever quando um surto de doença se torna uma epidemia

Etapa 1 passo 2

Integral de uma derivada

∫Df(x)/dx=F(x)

∫Ex dx =ex+C

∫1/x dx ln x +C

∫Cosx dx =senx+C

∫Senx dx=-cosx+C

∫Xn dx=xn+1/xn+1+C

∫Kdx=Kx+C

Integral por substituição

∫d/dx=(f(g(x)))=f’(g(x)).g’(x)

integral por partes

∫uv’dx=uv- u’vdx

Etapa 1 passo 3

O metodo de separação de variáveis consiste em colocar todas as variáveis x de um lado e y do outro

Dy/dx=-x/y

Ydy=-xdx ∫ydy=- ∫xdx

y2/2=-x2/2+K

Etapa 1 passo 4

Nos estudos observados no campo de circuitos elétricos aparece uma equações diferenciais de primeira ordem onde os circuitos RL e RC mostra a evolução da tensão ou da corrente

CIRCUITOS RL E RC

O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente

no tempo, exige a resolução de uma equação diferencial de 1ª ordem da forma.

Dx(t)/dt+a.x(t)=f(t) eq 1

então x(t ) x (t ) x (t) p c = + é uma solução para equação diferencial acima.

O termo x (t) p é chamado de solução particular ou resposta forçada, e x (t) c é

chamada de solução complementar ou resposta natural.

Considerando que f(t) = A = constante, a solução geral diferencial consiste de

duas partes que são obtidas resolvendo-se as seguintes equações.

dxp/dt+a.xp(t)=A eq 2 e dxc/dt=(t)+a.xc(t)=0