Equações De Maxwell

Resumo

O eletromagnetismo descreve como as cargas elétricas interagem. Esta interação se dá por intermédio do campo eletromagnético que podemos decompor em duas partes: o campo elétrico e o campo magnético.

A interação entre duas cargas elétricas distantes acontece, intermediada pelos campos, do seguinte modo: a primeira carga elétrica produz um campo elétrico. Se ela estiver em movimento produzirá também um campo magnético. Os campos propagam na velocidade da luz até a segunda carga. A segunda carga sente o campo elétrico e se estiver em movimento sentirá também o campo magnético. O mesmo processo acontece simultaneamente, indo da segunda carga para a primeira.1

Introdução

James Clerk Maxwell, nascido em 13 de junho de 1831, foi um físico e matemático. Conhecido principalmente por ter finalizado a teoria moderna do eletromagnetismo, onde uniu a eletricidade, o magnetismo e a óptica. É desta a teoria que surge dasequações de Maxwell, assim chamadas, por ter sido o primeiro a escrevê-las juntando a lei de Ampère, a lei de Gauss, e a lei de Faraday.2

Maxwell nasceu em Edimburgo (1831) e estudou em casa até os 10 anos de idade. Depois, estudou na Academia de Edimburgo, aos 15 era professor e desenvolvia pesquisa sobre a eletricidade. Estudou na Universidade de Edimburgo e na Universidade de Cambridge, chegando ao Trinity College.4

As equações de Maxwell são um grupo de equações que juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a base do eletromagnetismo clássico. Estas equações podem ser divididas em duas grandes variações - as microscópias e a macroscópica. Um dos grupos das equações de Maxwell, as microscópicas, utiliza os conceitos de carga e corrente total - incluí as cargas a níveis atómicos que são mais difíceis de calcular. A macroscópica, por sua vez, define os dois novos campos auxiliares que podem evitar a necessidade de ter de se conhecer tais cargas e correntes em dimensões atómicas. As equações de Maxwell para o eletromagnetismo constam da unificação entre as Leis de Gauss, para a eletricidade e para o magnetismo, a Lei de Ampère generalizada e a Lei de Faraday para a Indução eletromagnética.

HISTÓRICO

Em 1865, Maxwell havia formulado 20 equações e 20 variáveis, que incluíram diversas equações, que hoje consideradas auxiliares, onde chamamos de “Equações de Maxwell” — a Lei de Ampère corrigida (equação de três componentes), Lei de Gauss para carga (uma equação), a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento (três equações), a relação entre campo magnético e o vetor potencial (equação de três componentes, que implica a ausência de carga magnética), o relacionamento entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial (equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday), o relacionamento entre campos elétrico e de deslocamento (equações de três componentes), Lei de Ohm relacionando intensidade de corrente e campo elétrico (equações de três componentes), e a equação de continuidade relacionando intensidade de corrente e densidade de carga (uma equação).5

As quatro equações de Maxwell expressam, respectivamente, como cargas elétricas produzem campos elétricos (Lei de Gauss), a ausência experimental de cargas magnéticas, como corrente elétrica produz campo magnético (Lei de Ampère), e como variações de campo magnético produzem campos elétricos (Lei da indução de Faraday). Maxwell, em 1864, foi o primeiro a colocar todas as quatro equações juntas e perceber que era necessária uma correção na lei de Ampère: alterações no campo elétrico atuam como correntes elétricas, produzindo campos magnéticos.5

Lei de Gauss

A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico resultante Φ de um campo elétrico, através de uma superfície fechada, com a carga resultante que é envolvida por essa superfície. Em outras palavras, a lei de Gauss relaciona os campos elétricos em pontos sobre uma superfície gaussiana (fechada) com a carga resultante envolta por essa superfície.6

Uma carga fora da superfície gaussiana, não importa o seu tamanho ou sua proximidade, não é incluído no termo q da lei de Gauss. Também não importa a forma ou a localização exata das cargas dentro da superfície gaussiana, importa apenas o sinal da carga resultante envolvida. O campo elétrico, em razão de uma carga fora da superfície gaussiana, não contribui com nenhum fluxo resultante através da superfície, pois a quantidade de linhas de campo, em virtude dessa carga que entra na superfície, é a mesma que sai dela.

Podemos dizer que a lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb, pois podemos deduzir a lei de Coulomb através da lei de Gauss. 6

Lei de Gauss para o magnetismo

Fig. 1. Linhas de campo magnético em torno de um magneto.

A lei de Gauss para o magnetismo afirma que não há cargas ou monopolos magnéticos análogos às cargas elétricas. Em vez disso, o campo magnético é gerado por uma configuração chamada dipolo. Dipolos magnéticos são mais bem representadas como correntes fechadas, mas que lembram cargas magnéticas positivas e negativas inseparáveis, não tendo, portanto, nenhuma rede de cargas magnéticas. Em termos de linhas de campo, esta equação

afirma que as linhas de campo magnético nunca começam ou terminam que circulam. Em outras palavras qualquer linha de campo magnético que entra em um determinado volume ou material devem de alguma forma sair deste volume ou material.5

Densidade de carga e campo elétrico

A forma integral equivalente, também conhecida como Lei de Gauss, é:

pelo teorema da Divergência e pela Lei de Gauss:

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onde é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

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onde