Equações Diferenciais

Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

As principais técnicas são:

– Integração por substituição de variável;

– Integração utilizando substituições (por meio de identidades) trigonométricas;

– Integração por decomposição em frações parciais;

– Integração por partes.

Exemplos de integração:

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Ex:

Seja u = x2 + 1

Logo: 2x dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

Conceito de equação diferencial

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com suas derivadas. Em outras palavras, uma equação diferencial estabelece a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a equação e, frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o valor da função em qualquer valor posterior da variável independente. Em particular, na descrição de um sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação diferencial correspondente permite prever o comportamento futuro do sistema.

Equações diferenciais são meios matemáticos utilizados para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, podem-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e da relatividade.

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais diversas áreas do conhecimento.

Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam