Equações Diferenciais

8 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

8.1 Introdução

A equação diferencial é definida como uma equação que envolve uma função e algumas de suas derivadas, da forma:

Na engenharia a utilização de equações diferenciais tem como objetivo descrever o comportamento dinâmico de sistemas físicos. Uma equação diferencial pode descrever o comportamento dinâmico do circuito mostrado na figura:

S

V(t)=sin(3,5t) i(t)

Ao fechar-se a chave S, pode-se analisar o comportamento dinâmico do circuito a partir da Lei de Kirchoff para tensões:

Derivando a equação:

Substituindo a expressão da tensão e rearranjando a equação, tem-se:

8.2 Tipos de Equações Diferenciais

8.2.1 Equações Diferenciais Ordinárias

São equações diferenciais que possuem apenas uma variável independente.

Exemplos:

y é função de x; x é a única variável independente.

y e x são função de t; t é a única variável independente.

y é função de t; t é a única variável independente.

8.2.2 Equações Diferenciais Parciais

Quando a equação diferencial envolve mais de uma variável independente.

Exemplo:

u é função de x e y; x e y são variáveis independentes.

8.3 Solução de Equações Diferenciais

Determinadas equações diferenciais podem ser solucionadas de forma simbólica, cuja solução é uma expressão literal. Isto nem sempre é possível. Neste caso, a solução é a utilização de integração numérica, como será visto na sequência.

Exemplo 8.1:

Observe que a solução da equação diferencial resulta numa família de curvas que dependem da constante a, como pode ser visto na figura abaixo. Uma solução particular pode ser obtida a partir das condições iniciais do problema. A especificação de uma condição inicial define uma solução entre a família de curvas.

Suponha no exemplo dado que o problema tem como solução inicial . Portanto:

A solução é a solução para a condição inicial dada.

Quando as condições iniciais estão associadas a um único valor da variável independente, define-se como um problema de valor inicial – (PVI). Quando as condições iniciais estão associadas mais de um valor da variável independente, define-se como um problema de valor de contorno – (PVC). Normalmente, problemas tendo como variável independente o tempo, são problemas de valor inicial.

8.4 Ordem de uma Equação Diferencial Ordinária

A ordem da equação é determinada pela derivada de maior ordem. Seja o exemplo de uma equação diferencial ordinária de ordem n:

8.5 Redução de Equações Diferenciais Ordinárias

Uma equação ordinária de ordem superior pode ser reduzido a um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. A redução é feita a partir da definição de variáveis auxiliares.

Seja a equação diferencial de ordem m com também m condições iniciais:

Esta equação pode ser transformada em um sistema de equações diferenciais com m equações, como descreve-se abaixo:

Tem-se portanto um sistema com m equações diferenciais de primeira ordem:

Com as condições iniciais dadas por:

Este artifício deve sempre ser utilizado quando da solução de equações diferenciais por métodos numéricos, pois só pode-se integrar numericamente equações de primeira ordem. Observe que o sistema de equações modela o comportamento dinâmico do problema.

Exemplo 8.2: Reduzir as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s) a sistemas de EDO’s de primeira ordem.

a) , e

Resultando no sistema:

b)

Reescrevendo a equação, tem-se:

Resultando no sistema:

8.6 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias – Problema de Valor Inicial

Considere a equação diferencial ordinária:

com condição