Equações Diferenciais

1. Terminologia e Definições Básicas

Sabemos que, dada uma função y = f (x), a sua derivada , é uma função de x e é obtida por regras de derivação apropriadas. Por exemplo, se , então sua derivada é a função ou . Neste curso resolveremos a seguinte questão: dada uma equação como , queremos encontrar, de algum modo, uma função que satisfaça a equação. Ou seja, queremos resolver equações diferenciais.

1.1 Definição: Equação Diferencial

Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é denominada equação diferencial (ED).

Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a

linearidade.

1.2 Classificação pelo tipo: Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Equação Diferencial Parcial (EDP).

1.3 Classificação pela ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação.

Uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem é freqüentemente representada por

1.4 Classificação como Linear ou Não-Linear:

Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma

.

Note que as equações diferenciais lineares se caracterizam por duas propriedades:

a) A variável dependente y e suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo y é 1;

b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Uma equação que não é linear é dita não-linear. Exemplos:

As três primeiras equações são EDO lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. As duas últimas equações são EDO não-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.

1.5 Definição Solução para uma equação diferencial

Toda a função f definida em algum intervalo I, que quando substituída na equação diferencial, transforma a equação numa identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo I.

De outro modo, uma solução para uma equação diferencial ordinária

é uma função f que tem pelo menos n derivadas e satisfaz a equação: isto é,

para todo x no intervalo I.

Exemplo 1.1 Verifique que é solução para a equação no intervalo .

Exemplo 1.2 Mostre que a função é uma solução para a equação linear no intervalo .

Soluções explícitas