Equações Diferenciais

Exercício 01 Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Seja X o número de moradores que têm alergia.

p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2.

X ~b (13; 0,20),

ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p = 0,20, com função de probabilidade dada por:

, k=0, 1, ..., n

Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por:

P(X  4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … + 0,0000 = 0,2526

ou

P(X  4) = 1 - P(X3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 0,2526

Exercício 02

Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:

(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?

Seja X o número de alunos que fizeram cursinho

p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75.

X ~b (16; 0,75),

ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = 0,75.

Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por:

P(X  12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252+0,2079+0,1336+ +0,0535+0,0100= 0,6302

(b) No máximo 13 tenham feito cursinho?

Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos,

P(X  13) = P(X=0) + P(X =1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029

ou

P(X  13) = 1 - P(X  14) = 1 – (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029

(c) (0,5) Exatamente 12 tenham feito cursinho?

Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos,

P(X =12) = 0,2252

(d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância?

Y: número de alunos que fizeram cursinho entre os 80 selecionados

Y~B(80; 0,75)

O número esperado de alunos que fizeram cursinho é dado por:

 = E(X) = n*p = 80 * 0,75 = 60

A variância é dada por:

2 = Var(x) = n * p * (1-p) = 15

Exercício 03

Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos das populações A e B sejam alfabetizados. Se 12 pessoas da população A e 10 da população B forem selecionadas ao