Equações Diferenciais

Equações diferenciais é um dos tópicos da matemática com aplicações em quase todos os ramos da

ciência. Física, Química, Biologia, Economia são algumas destas áreas. Para entender melhor, toda

equação contendo derivadas de funções são chamadas de equações diferenciais. Portanto, o estudo

de equações diferenciais e suas aplicações dependem do que se entende por derivada de uma função,

tópico este já estudado em Cálculo I. As equações abaixo são alguns exemplos de equações diferenciais

que estudaremos neste e no próximo capítulo.

y

0 + 2xy = 3x

2

; xy0 + sen x y = e

x

; 3y

00 + 4y

0 + 5y = cos x

As duas primeiras equações diferenciais são chamadas de primeira ordem e a última de segunda

ordem, devido à derivada de maior ordem ser um e dois, respectivamente.

Uma equação diferencial que descreve algum processo físico, químico, biológico, econômico ...

etc, é chamada de modelo matemático do processo em questão e chegar a esta equação a partir

das descrições destes processos é chamado de modelagem do problema. Chegar a estes modelos e

resolvê-los é o que veremos a seguir.

Exemplo 1.1 Se f é uma função contínua, vimos em Cálculo I que calcular a R

f(x) dx é encontrar

uma primitiva F da função dada f, ou seja, é determinar uma função F tal que, F

0 = f, isto é,

F

0 = f () Z

f(x) dx = F(x)

Esta equação foi a primeira equação diferencial que resolvemos e a primitiva F nada mais é que

uma solução para esta equação diferencial. Por exemplo, resolver F

0

(x) = cos(x) é equivalente a

F(x) = Z

cos x dx = sen x + c ;

o que nos mostra que esta equação diferencial tem infinitas soluções, já que a constante c é qualquer.

O estudo da existência e unicidade de soluções é um dos aspectos mais interessantes desta teoria.

Exemplo 1.2 Considere um corpo de massa m caindo na superfície da terra. Se desprezarmos a

resistência do ar, chamando de v sua velocidade em um determinado instante de tempo t e de a sua

aceleração, a única força atuante é a do seu próprio peso p = mg, onde g é a constante