Equações Diferenciais

Definição de Equação Diferencial Ordinária

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma F(x, y(x), y’(x), y’’(x),..., y^n (x)= 0 envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y^k denota a derivada de ordem k da função y = y(x).

Aplicações na engenharia

O estudo de formulações matemáticas na engenharia cível vem sendo muito utilizado para revolver problemas envolvendo diversas situações seja por busca de soluções desde o cálculo de temperaturas em ambientes até os mais complicados usados para calcular esforços solicitantes em estruturas. Quando falamos em esforços solicitantes em estruturas, queremos saber como as mesmas vão se comportar mediante a esforços, que podem ser devido ao seu próprio peso ou um conjunto de esforços provindo de agentes externos que podem ser outras estruturas, outros objetos ou até pessoas. No caso a seguir veremos a utilização de equações no estudo de deflexão em vigas.

Relacionamento entre as variáveis e parâmetros

Na Engenharia Civil discute-se a flexão de vigas sob a ação de cargas (inclusive o próprio peso). A Fig. 1 ilustra como se comporta os esforças em uma viga prismática de seção retangular, que em geral, é discutida se ela é engastada ou bi apoiada.

Figura 1: comportamento das fibras em relação ao eixo da viga.

Fonte: www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas

Admite-se que a viga é homogênea quanto ao material, isto é todo o seu volume é feita de um só tipo de material, e é formada por fibras longitudinais.

Na flexão visualizada as fibras da metade superior são comprimidas e as da metade inferior são tracionadas. Assim, a viga fica identificada por duas partes separadas por uma superfície neutra cujas fibras não sofrem tração nem compressão (FLEMMING, 2000).

As vigas são estudadas através de seções transversais (ver Fig. 2).

Figura 2: seção Transversal de vigas Retagulares.

Fonte: www.lem.ep.usp.br, acessado em 18/05/14.

Na maior parte do tempo iremos calcular o quanto uma viga vai se comportar em relação à sua capacidade de se quebrar ou fletir, para tanto iremos formular uma equação matemática que nos dirá o quanto a viga sofre flexão em determinado ponto.

Já sabemos que, mediante a presença de um esforço, uma parte da viga se comprime e a outra sofre compressão, e que na distancia da origem até um ponto solicitado surgirá uma curva, na qual denominamos de curva elástica mostrada na figura 3.

Figura 3: curva elástica.

Fonte: www.mspc.eng.br, acessado em 18/05/14.

Uma seção é alocada num sistema de eixo cartesiano e assim podemos definir y = f (x) como a equação da curva elástica em que a ordenada y é denominada como sendo a distancia que origina-se do eixo para cima ou para baixo dependendo da origem do esforço que chamamos de flecha da viga.

As especificações para o cálculo ou dimensionamento das vigas, impõem frequentemente, limites para as flechas. Assim é essencial que o calculista saiba determinar as flechas (FLEMMING, 2000).

Nash (1992) coloca que "em diversas normas de cálculo de edifícios se estabelece que a flecha máxima, nas vigas, não deve exceder 1/300 de seu vão" apesar de algumas empresas usarem um critério mais rígido quando diz respeito a seus materiais usando 1/500+1.

Formulação Matemática da Equação da Linha Elástica ou Flecha

Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando para cima na extremidade livre.

Figura 4 – Curva de deflexão de uma viga engastada. (Gere, 2003)

Considerações: O plano xy é um plano de simetria da viga e todos os carregamentos atuam nesse plano. O material segue as considerações segundo a Lei de Hooke para somente deformações devido à flexão pura.

Deflexão ν - É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga, como apresenta a Figura 4. Como y é positivo para cima, então ν é positivo.

Vamos considerar a curva de deflexão com mais detalhes como mostra a Figura 5.

Figura 5 – Curva de deflexão de uma viga. (Gere, 2003)

Ângulo de rotação θ - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão, como mostra a Figura 5b.

Observações: θ é positivo no sentido anti-horário.

Notação: Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de declive.

Ângulo de rotação em m2 = θ+dθ

dθ - Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2.

Ângulo entre as normais as tangentes = dθ

Ponto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura)

ρ - Raio de curvatura – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinte expressão

ds=ρdθ:

onde dθ é dado em radianos e ds é a distância ao longo da curva de deflexão entre os pontos m1e m2.

Mediante esses dados temos que a curvatura é dada por:

k=1/ρ = dθ/ds

A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada dv/dx ou y’, Geometricamente, a inclinação da curva de deflexão é o incremento dν na deflexão (conforme vamos do ponto m1 para o ponto m2).

Dividindo pelo incremento dx na distância ao longo do eixo x.

Como dv e dx são infinitesimais tem-se que:

dv/dx=tanθ⇒ θ=arctan(dv/ds)⁡

De modo similar tem-se:

cos⁡(θ)=dx/ds

e,