Equações Diferenciais

Etapa 2

Circuito RC sem fonte.

Circuito RC, é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele consiste de um resistor e de um capacitor/condensador, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão

Associação em série de um resistor e um capacitor:

Capacitor carregado com tensão v_0 em t = 0.

Energia em t = 0: w(0)= 1/2 〖cv〗_0^2

Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes quando t ≥ 0, temos:

C dv/dt+ V/R=0 ---------> dv/dt+ 1/RC v=0

Solução da equação diferencial de 1ª ordem:

(dv )/dt + 1/(RC ) v=0

dv/v = - 1/RC dt

∫▒dv/v = - 1/RC ∫▒dt

ln⁡〖v= -t/RC〗+ k

Para que a solução seja válida para t ³ 0, a constante K deve ser escolhida tal

que a condição inicial de v(0) = v_0 seja satisfeita, Portanto, em t = 0, temos:

ln v(0)=lnV0=K

Substituindo o valor de K na solução, temos:

ln⁡〖v= - t/RC〗+ K= - t/RC+ln⁡〖v_0 〗

ln⁡〖v-ln⁡〖v_0 〗 〗= - t/RC

ln⁡〖v/v_0 〗= - t/RC

v(t)= v_0 exp(-t/RC)

Esta é a tensão sobre R, portanto, a corrente é:

i(t)= (v(t))/R = v_0/R exp⁡〖(-t/RC) 〗

Com a tensão sendo inicialmente v_0 (zero) e que decai, tendendo a 0, para t crescente.

Velocidade de decaimento da tensão é determinada pelo produto RC.

Como a resposta é caracterizada pelos elementos do circuito e não pela atuação de uma fonte externa de tensão e corrente, a resposta é denominada de resposta natural do circuito.

Potência instantânea absorvida pelo resistor R:

PR⁡(t)= (v^2 (t))/R= (v_0^2)/R exp(-2t/RC)

Energia absorvida pelo resistor para t  ∞ é:

wR(∞)= ∫_0^∞▒PR(t)dt

==∫_0^∞▒(v_0^2)/R exp⁡(-2t/RC)dt

= - 1/2 〖cv〗_0^2 exp⁡(-2t/RC) /_0^∞

=1/2 〖cv〗_0^2 ----> Energia armazenada no circuito

Se o tempo inicial é t_0, isto é, V(t_0) = v_0, por tanto

v(t)= v_0 exp((t-t_0)/RC)