Equações Diferenciais

35ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Primeira Fase – Nível 2

8o ou 9o ano Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – MG – PA – PI – RS – SC

São Carlos/SP

15 de junho de 2013

A duração da prova é de 3 horas.

Cada problema vale 1 ponto.

Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros ou ainda o uso do telefone celular.

Você pode solicitar papel para rascunho.

Entregue apenas a folha de respostas.

Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.

1) Se Joana comprar hoje um computador de 2000 reais, ela conseguirá um desconto de 5%. Se ela deixar para amanhã, irá conseguir o mesmo desconto de 5%, mas o computador irá aumentar 5%. Se ela esperar, o que acontecerá?

A) Nada, pois pagará a mesma quantia. B) Ela perderá 100 reais.

C) Ela ganhará 105 reais. D) Ela perderá 95 reais. E) Ela perderá 105 reais.

2) Esmeralda está construindo um paralelepípedo usando blocos menores iguais. Para terminar sua tarefa, quantos blocos Esmeralda ainda deve colocar?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

3) Luísa tem seis peças iguais formadas por quatro quadradinhos de área 1. Ela quer encaixar todas essas peças no quadriculado formado por 24 quadradinhos de área 1 e já colocou uma dessas peças, em destaque na figura ao lado. De quantas maneiras diferentes ela pode terminar de cobrir o quadriculado?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4) As medidas indicadas na figura referem-se ao desenho que representa um dormitório retangular, incluindo um banheiro, de uma casa. Se a escala do desenho é de 1:45, qual é a área real desse cômodo?

A) 12,15 m2

B) 15,5 m2

C) 27 m2

D) 32 m2

E) 60 m2

5) No pentágono ABCDE ao lado, AB = BC = CD = 2 metros e DE = EA = 3 metros. Uma formiguinha parte do vértice A e caminha com velocidade constante de um metro por segundo ao longo de seus lados, sempre no mesmo sentido. Em que ponto estará no 2013º segundo?

A) A B) B C) C D) D E) E

6) O Aluno D (usaremos este codinome para proteger a identidade do aluno) não prestou atenção na aula e não aprendeu como verificar, sem realizar a divisão, se um número é múltiplo de 7 ou não. Por isso, D decidiu usar a regra do 3, ou seja, ele vai somar os dígitos e verificar se o resultado é um múltiplo de 7. Para quantos números inteiros positivos menores que 100 esse método incorreto indicará que um número é múltiplo de 7, sendo o número realmente múltiplo de 7?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

7) Dalvenilson (ops, aluno D) procurou um amigo para aprender qual era o jeito ensinado pelo professor para verificar se um número é múltiplo de 7 sem realizar a divisão. O método ensinado é tomar o dígito das unidades apagá-lo e subtrair o seu dobro no número que sobrou. Por exemplo, para 1001 teremos: e repetindo, teremos , que é um múltiplo de 7. Então, 98 e 1001 são múltiplos de 7.

Sabendo disso, qual dos números a seguir é um múltiplo de 7?

A) 102112 B) 270280 C) 831821 D) 925925 E) 923823

8) Entre os números naturais de 1 até n, pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são divisíveis por 6. No máximo, quantos desses números são divisíveis por 7?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9) O programa “Quem não quer o bode?” ficou muito famoso nos Estados Unidos. O programa era como a seguir: o participante deve escolher uma dentre três portas. Atrás de uma das portas, há um carro e atrás de cada uma das outras duas, há um bode. O convidado ganhará o que estiver atrás da porta escolhida. Entretanto, os organizadores do programa perceberam, com o passar do tempo, que aproximadamente dois em cada três participantes ganhavam o carro e, com isso, decidiram mudar o programa. Agora, cada uma das três portas teriam números de 1 a 3 e haveria um porteiro identificado com o número da porta. Cada porteiro faz uma afirmação que pode ser verdade ou mentira. Em seguida, o participante escolhe a porta na qual acredita que o carro está. Em um dos programas, foram ditas as seguintes afirmações pelos porteiros:

• Porteiro 1: O carro não está atrás da porta 3.

• Porteiro 2: O carro está atrás da minha porta.

• Porteiro 3: O carro não está atrás da minha porta.

Sabe-se que pelo menos uma das afirmações é verdade e que pelo menos uma é mentira.

Atrás de qual porta está o carro?

A) porta 1 B) porta 2 C) porta 3 D) não é possível identificar.

E) não é possível que esteja em nenhuma delas.

10) O triângulo aritmético de Fibonacci é formado pelos números ímpares inteiros positivos a partir do 1 dispostos em linhas com ordem crescente em cada linha e pulando para a linha seguinte. A linha n possui exatamente n números. Veja as quatro primeiras linhas.

Linha 1: 1

Linha 2: 3 5

Linha 3: 7 9 11

Linha 4: 13 15 17 19

...

Em qual linha aparecerá o 2013?

A) 45 B) 46 C) 62 D) 63 E) 64

11) Seja ABC um triângulo retângulo em A. Seja o ponto médio de AC. Sabendo que e que , a hipotenusa do triângulo é:

A) B)