Equações Diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES

Ana Maria S. Luz ([e-mail] - bolsista PIBIC/CNPQ) e Prof. Dr. Francisco Júlio

Sobreira de Araújo Corrêa ([e-mail] - orientador), Departamento de Matemática, CCEN -

UFPA

Resumo. Daremos inicialmente uma breve introdução sobre a teoria das equações

diferenciais. Apresentaremos algumas noções preliminares ao estudo da teoria

qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Faremos um estudo das equações

diferenciais ordinárias de primeira ordem e algumas aplicações destas em outras

ciências. Desenvolveremos posteriormente o estudo das equações diferenciais

ordinárias de segunda ordem e dos sistemas de equações diferenciais, utilizando o

conteúdo discutido em aplicações da Física e da Biologia.

Introdução.

A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa

pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações,

além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente

as equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas

ordinárias – em relação a uma variável).

Exemplo de Equações Diferenciais Ordinárias:

( )

( )

kR t

dt

dR t

= -

f (x)

dt

d x

m = 2

2

Será feito o estudo e análise crítica de diversas aplicações das equações

diferenciais Ordinárias oriundas da mecânica, química, biologia, etc., assim como o

seu estudo qualitativo, em que se toma a atitude de retirar das equações informações

sobre o comportamento de suas soluções, sem aquela preocupação de escrevê-las

explicitamente, tal estudo se justifica pelo fato de que o número de equações que

podem ser resolvidas em termos de funções elementares, sem a utilização de

métodos numéricos, é pequeno. Esse estudo qualitativo das soluções é característico

da fase moderna da teoria das equações diferenciais ordinárias, que se define com

Poincaré no final no século XIX. Não devemos perder de vista que a teoria qualitativa

não elimina o interesse e a importância de se ter informações quantitativas sobre as

soluções, o que pode ser obtido pelos métodos descritos na bibliografia deste artigo.

Mas como mostraremos, muitas aplicações provenientes de outras ciências, como a

Biologia e a Física, necessitam de uma prévia análise qualitativa das equações

diferenciais ordinárias que as modelam como forma de se verificar se as soluções

estão de acordo com o problema que motivou o modelo.

Noções Preliminares.

Apresentaremos aqui alguns resultados de grande importância pra o

desenvolvimento deste artigo.

Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja f: Wfi ´ uma função contínua

definida num aberto W do plano (x,y). Suponhamos que a derivada parcial com relação

à segunda variável, fy:Wfi ´ , seja contínua também. Então, para cada (xo , yo) ˛ W,

existem um intervalo aberto I contendo xo e uma única função diferenciável f: Ifi ´

com (x, f(x)) ˛ W, para todo x ˛I, que é solução do problema de valor inicial (P.V.I)

y´=f(x,y)

y(xo)=yo

Para a demonstração de tal resultado nós utilizamos o Teorema do Ponto Fixo

de Banach, conhecido também como o Princípio da Contração: "Seja C um espaço

métrico completo. Suponha que F :Cfi C é uma contração, isto é, existe uma

constante 0 £k < 1, tal que

(1)

(2)

Equação que governa o

decaimento de uma

substância radioativa com o

tempo R(t), onde k é uma

constante conhecida

Equação que representa a lei

de Newton F=ma, se x(t) é a

posição no instante t de uma

partícula de massa m

submetida a uma força f

(3)

(4)Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 1, março 2001 Página 2 de 10

d(F (g1 ),F (g2 ))£kd(g1

, g2 ).

para todos g1, g2 Î C. Então, existe um e somente um gÎ C tal que g= F (g)"

Porém devemos primeiro transformar a Equação Diferencial em uma equação

integral cuja forma é:

y(x) y f (s y(s))ds

x

x