Equações Diferenciais E séries

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho iremos apresentar a importância do estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos que atualmente é motivado para o desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o avanço dos dispositivos já existentes, como por exemplo, telefones celulares, cuja atual funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação telefônica. 

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde. 

O conteúdo desse trabalho evidência a importância de se ter uma base sólida nas técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de equações diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático. 

O objetivo deste trabalho é permitir ao grupo um sólido conhecimento sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento de dispositivos.

2 ETAPA I

2.1 AULA-TEMA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. APLICAÇÕES E MODELAGEM

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) modelam vários fenômenos físicos do nosso cotidiano, tanto no campo da engenharia como das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo destes tipos de equações. As aplicações de equações diferencias ordinárias na análise de circuitos elétricos é o nosso objetivo.

2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES

Fenômenos físicos frequentemente envolvem relações entre uma variável independente x e uma variável dependente y, tais relações não são fáceis ou mesmo possíveis de serem descritas com uma função de variável independente [1]:

Às vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de seus valores e derivadas da função desconhecida .

Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a tensão como uma função do tempo, v(t), que pode ser escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e das propriedades do circuito.

Uma função expressa como uma função da variável independente x, da variável independente y e suas derivadas é dita equação diferencial.

Uma relação que envolve derivadas ate ordem n é dita Equação Diferencial Ordinária (EDO), podendo ser colocada na forma matemática:

As equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade. A ordem de equação diferencial ordinária é a ordem da mais alta derivada

presente na equação.

2.3 MODELAGEM DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM CIRCUITOS ELÉTRICOS

Objetivando ilustrar a modelagem de equações diferenciais desenvolveremos a seguir modelos de sistemas dinâmicos e demonstraremos exemplos práticos.

2.3.1 CIRCUITO RC

Figura 1: Circuito RC [3]

O circuito RC, como ilustra a figura 1, é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potência ou uma força eletromotriz E(t) ligados em série. A queda de potencial num resistor de resistência R é igual a e num capacitor de capacitância C é igual a .

Pela segunda lei de Kirchoff (lei das malhas) a soma das forças eletromotrizes (neste caso apenas E(t)) é igual à soma das quedas de potencial (neste caso na resistência e no capacitor), ou seja, [4]

Como , então a carga q(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial:

Exemplo prático

Um circuito RC série com uma bateria que gera tensão de 100 v, tem uma resistência de 200Ω, um capacitor de A chave K1 é fechada em t=0, encontre a carga inicial Q(t)e a corrente i(t) no capacitor , a tensão no resistor Vr (t) e a tensão no capacitor Vc(t) em cada instante t, sendo a carga inicial do capacitor q(0)=0.

Figura 2: Circuito RC representativo do exemplo 1

Como foi visto na teoria analisando o circuito temos que pela segunda lei de Kirchoff (lei das malhas):

Substituindo os dados do exercício, temos :

A equação é linear. Multiplica-se a equação pelo fator integrante

Integrando-se obtemos:

Substituindo os valores iniciais t=0 e Q=0 obtemos:

Logo,

Sabendo que 

Com a equação da corrente, podemos encontrar a tensão do resistor (Vr(t)) e com a equação da carga, encontramos a tensão do capacitor. 

2.3.2 CIRCUITO RLC

Figura 3: Circuito RLC [3]

Um circuito RLC é mostrado na figura 3, que é formado por um capacitor, um resistor e um indutor ligados em série a um gerador. A queda de potencial num resistor de resistência R é igual a , num capacitor de capacitância C é igual a e em um indutor de indutância L é igual a .

Pela segunda lei de kirchoff (lei das malhas) a soma das forças eletromotrizes(neste caso apenas E(t) é igual à soma das quedas de potencial(neste caso na resistência,