Equações Diferenciais Ordinárias

Equações diferenciais ordinárias

Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma função desconhecida, y(x), suas derivadas até uma ordem n e variável independente x; ou seja, é uma equação da forma

F(x,y,y’,y”,....y^n) = 0

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que aparece na mesma dizemos que uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se ela é da seguinte forma

an(x) y^((n))+a_(n-1(x) y^((n-1) )+⋯+a_1 (x) y^'+a_0 (x)y = g(x))

Onde os coeficientes a_0(x),..., a_n(x) são funções conhecidas da variável x e a_n(x) não é identicamente nula. Quando g(x) for identicamente nula, dizemos que a equação (2) é homogênea.

Se uma equação diferencial ordinária de ordem “n” não for do tipo (2) dizemos ela é não-linear. As equações diferenciais ordinárias aparecem em várias aplicações.

Equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

onde é dada e a incógnita é a função . O domínio pode ser um intervalo ou a reta real inteira.

Quando a função não depende explicitamente sobre a variável independente e o problema pode ser escrito na seguinte forma:

então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.

Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Equação diferencial de primeira ordem é da forma:

Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem

(1)

Pode ser resolvida por integração. A solução é

Equação Separável

Definição – Equação Separável

Uma equação diferencial da forma

é chamada de separável ou tem variáveis separáveis.

Observe que uma equação separável pode ser escrita como

(2)

É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1.

Agora, se y = f (x) denota uma solução para (2), temos

logo,

Mas dy = f´(x)dx, a eq. acima é o mesmo que

Equação Homogênea

Definição – Função Homogênea

Se uma função f satisfaz

Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

Definição – Equação Homogênea

Uma equação diferencial da forma

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Método de Solução

Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou x = vy, em que ‘u’ e ‘v’ são novas variáveis independentes, transformará a equação diferencial de primeira ordem separável . Para ver isso, seja y = ux; então, sua diferencial dy = u dx + x du. Substituindo na eq. Homogênea, temos

Equação Exata

Definição – Equação Exata

Uma expressão diferencial

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

Teorema – Critério para uma diferencial exata

Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que

seja uma diferencial exata é

Método de Solução

Dada a equação

Mostre primeiro que

Depois suponha que

daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante.

Escrevemos,

em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração.