Equações E Diferenciais Em série

SUMÁRIO

Introdução:.....................................................................................................3

.ETAPAS 1 e 2

Aula-tema: Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem

Aula-tema: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior

Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações...............................4

Aplicação das Equações Diferenciais................................................6

Modelagem Matemática Baseada nas Leis de Kirchoff.....................7

Simulação e Modelagem Computacionais no Auxílio na Aprendizagem Significativa de Conceitos Básicos de Eletricidade............................8

Circuitos de Corrente Elétrica Alternada II.........................................12

Símbolos para circuitos eléctricos.......................................................16

Simbologia: Eletrônica.........................................................................17

Relatório sobre Modelagem de Circuitos Elétricos por Equações Diferenciais em qualquer dispositivo elétrico.......................................26

Referencias/Bibliografia........................................................................27

INTRODUÇÂO

A modelagem matemática de circuitos elétricos é baseada nas leis de Kirchhoff. Constitui-se basicamente de equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calculara evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa devariação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, adinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processoou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjuntode equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada esimplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equaçõesdiferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS e APLICAÇÕES

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da formaF(x, y(x), y0(x), y00(x), ..., y(n)(x)) = 0. Envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suasdiferenciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e osímbolo y(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).

Exemplos:

1. y00 + 3y0 + 6y = sin(x)

2. (y00)3 + 3y0 + 6y = tan(x)

3. y00 + 3y y0 = ex

4. y0 = f(x, y)

5. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da funçãoincógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para aderivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de umpolinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo:

A y(3) + B y(2) + C y(1) + D y(0) = 0

Exemplos:

1. y00 + 3y0 + 6y = sin(x) e y00 + 3y y0 = ex têm ordem 2 e grau 1.

2. (y00)3 + 3(y0)10 + 6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3.

3. y0 = f(x, y) e M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 têm ordem 1 e grau 1.

Uma grande quantidade de equações diferenciais ordinárias de primeiraordem pode ser escrita na sua forma normal, dada por:

y0 = f(x, y)ou quando a função f = f(x, y) pode ser escrita como o quociente de

duas outras funções M = M(x, y) e N = N(x, y), temos:

y0 =M(x, y), N(x, y)

É vantajoso manter o sinal negativo antes da fração, na forma0 = −M(x, y)N(x, y)pois usando o fato que dy = y0(x)dx, poderemos escreverM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Já uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equaçãoda formaa(x) y00 + b(x) y0 + c(x) y = d(x)onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) são funções conhecidassomente da variável independente x.

Exemplos de equações diferenciais lineares de segunda ordem:

x2y00 + sin(x) y0 + exy = u(x) e y00 − 7y0 + 12y = cos(x)

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Muitos problemas práticos, podem ser modelados pela Matemática, deacordo com as quatro etapas abaixo (não muito bem definidas):

Crescimento Populacional: Modelo de Malthus 7

1. Construção de um modelo para descrever algum fenômeno físico;

2. Estabelecimento de um procedimento matemático adequado ao modelofísico;

3. Realização de cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático pré-estabelecido.

Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado comeste problema, consideraremos o modelo matemático mais simples paratratar sobre o crescimento populacional de algumas espécies, conhecidocomo o Modelo de Crescimento Exponencial de Malthus, que estabeleceque a taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotadapor dN, é proporcional à população presente. Em outras palavras. dt

N = N(t) mede a população, nós temos

dn/dt= k N

onde a taxa k é uma constante. É