Equações diferenciais

Equações diferenciais

As equações diferenciais têm sido amplamente estudadas, e isto se da devido a grande gama de aplicações desta ferramenta matemática que vão das exatas às humanas.

Equações diferenciais ordinárias

São chamadas de equações diferenciais ordinárias aquelas que apresentam derivadas ordinárias, ou seja, em relação a uma variável.

Ex.

Podemos fazer o estudo e análise crítica das mais variadas aplicações das equações diferenciais ordinárias vindas da mecânica, química, biologia etc.; E também o estudo qualitativo, quando retiramos das equações informações sobre o comportamento de suas soluções sem a necessidade de escrevê-las explicitamente; O estudo qualitativo das soluções é característico da fase moderna da teoria das equações diferenciais ordinárias definida com Poincaré (final do século XIX).

Muitas aplicações em outras ciências, como biologia e física, necessitam de uma análise qualitativa das equações diferenciais ordinárias que as modelam como forma de verificar se as soluções estão de acordo com o problema que motivou o modelo.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

Aqui temos uma forma geral de uma equação diferencial de primeira ordem:

(fonte: Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 1, março 2001 Página 2 de 10)

Crescimento de tumores: Foi observado experimentalmente que micro-organismos que se reproduzem de forma que ocorre a sua duplicação (mitose) como as bactérias, tem uma taxa de crescimento proporcional ao volume de células divididas no tem t.

Então:

Modelo de epidemia: Vejamos um modelo simplificado de propagação de uma doença. Na construção do modelo foram consideradas as seguintes hipóteses:

1 Uma fração x de uma população tem uma doença infecciosa, então uma fração S= (1-x) não a tem.

2 Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).

3 A taxa de aumento de x é proporcional a x e S. consequentemente a estas hipóteses temos o modelo dado pela equação:

(Fonte: Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 1, No 1, março 2001 Página 3 de 10)

Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem

Agora temos uma forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem:

Concluímos então