Equações diferenciais

INTRODUÇÃO

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular

a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de

variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a

dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial

(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo

ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto

de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e

simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações

diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento

da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória

e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e

da relatividade.

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais

diversas áreas do conhecimento. Para citar alguns exemplos de aplicações de

equações diferenciais em Ciências Naturais, temos o problema da dinâmica de

populações, o de propagação de epidemias, a datação por carbono radioativo,

a exploração de recursos renováveis, a competição de espécies como, por

exemplo, no sistema predador versus presa. Fora das Ciências Naturais, as

equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema

financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre

outras.

Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que

mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.

Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em

termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas

cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje

em dia, ser tratados através de métodos computacionais.

Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas

através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do

conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais.

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2 ASPECTOS TÉCNICOS DO USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM DE SISTEMAS

O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos

de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a

partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento geral do sistema. A construção do modelo envolve uma percepção

da situação real em linguagem matemática. Para que o modelo seja uma

boa representação da realidade, é de fundamental importância enunciar de

maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse.

Ora, como cada sistema possui um conjunto de variáveis e interações características, os modelos propostos aparecem nas mais diversas formas, não

havendo uma lista de regras gerais para a representação de determinado sistema ou processo. Apesar disso, segundo Boyce e DiPrima (2012) [2], existem

alguns passos que, frequentemente, fazem parte do processo de modelagem:

(i) Identificação das variáveis que caracterizam o sistema, (ii) Definição das

unidades de medida das variáveis, (iii) Determinação das leis (teóricas ou

empíricas) que regem as relações entre as variáveis e a dinâmica do sistema

e (iv) Expressar as leis em termos das variáveis identificadas.

Uma vez definido o conjunto de equações diferenciais que descrevem a

dinâmica do sistema, é necessário resolver as equações, ou seja, encontrar

suas soluções. Algumas equações diferenciais possuem soluções analíticas,

isto é, podem ser resolvidas “a mão”. Porém, em muitos casos, a complexidade dos sistemas modelados implica em equações complicadas, impossíveis

de resolver analiticamente. Nesses casos, é necessário lançar mão de técnicas

computacionais (numéricas) para a solução do problema. Alguns dos softwares mais usados na solução computacional de equações diferenciais são o Maple e o Mathematica, ferramentas que executam algoritmos de aproximação

numérica. Estes softwares também são úteis na interpretação e representação gráfica das soluções obtidas, possibilitando um entendimento da solução

bem mais claro do que o extraído de tabelas numéricas ou fórmulas analíticas complicadas. Abordagens computacionais podem ser implementadas

também através de linguagens de programação como C e Fortran.

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3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

3.1 Definição

Uma