Equações diferenciais

Introdução.

As pessoas mudam, suas necessidades também mas a busca por conhecimento e soluções de problemas vem sendo desde os tempos mais remotos até os dias atuais um dos grandes desafios da humanidade.

As equações diferenciais surgiram na tentativa de descrever os sistemas físicos em termos matemáticos e facilitar a compreensão e consequente solução de diversos problemas.

Buscamos através da confecção de nosso trabalho transmitir resumidamente tudo o que foi aprendido por meio de pesquisas e estudos sobre as Equações diferenciais, sendo não apenas um simples trabalho para a obtenção de nota mas também um método para ampliar os nossos conhecimentos.

Passo 1: Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciadas em sistemas físicos e problemas de engenharia.

.. O homem sempre buscou entender e solucionar seus problemas, conquistando como resultado, a evolução e tecnologia, a modelagem de sistemas foi um avanço que por linguagem matemática encontrar soluções para a vida real.

A modelagem de um sistema por meio de equações diferenciadas nada mais é do que uma descrição aproximada e simplificada de casos reais, acessando através das equações diferenciais o comportamento de diversos sistemas. É construída levando se em consideração pontos que permitem a identificação de variáveis responsáveis pela variação do sistema, elaborando um conjunto de hipóteses sobre o mesmo. A mais simples equação pode ser capaz de representar um ou vários sistemas, e certamente terá uma utilidade.

A modelagem de um sistema é muito utilizada em casos de crescimento populacional, resfriamento de corpos, velocidade de uma partícula em queda, flexão de vigas, entre muitos outros exemplos. Ou seja, pode ser aplicada em diversas áreas, como biologia, física, engenharia, geografia e economia, sendo extremamente importante para a solução do comportamento de diversos sistemas.

Exemplo de modelagem.

Considerando que a população de uma região do Tocantins sofre variações com o tempo, porém não há imigração e emigração. A taxa de variação da população é frequentemente proporcional a população existente. Se P denota a população no instante t, escreva a equação que descreve a população dessa cidade.

Solução.

P = população dp/dt≈P

Equação diferencial que rege o problema:

dp/dt=λ P

Variáveis Separáveis:

dp/dt x 1/P= λ

1/( P) x dp= λ dt

∫▒1/P = ∫▒〖λ dt〗

ln |P| = λt +c

e^ln⁡〖|P|〗 = e^ln⁡〖|λt+c|〗

|P| = e^λt.C

|P| = 〖C.e〗^λt

+┬-P = C.e^λt

P=+┬- C.e^λt

+┬- C=Po ≠0

P= Po .〖 e〗^λt

Passo 2:

Equação diferencial

É uma equação que apresentam derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida.

A equação diferencial é classificada por tipo, ordem e linearidade.

Classificação pelo Tipo

Se a equação apresenta somente as derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável dependente, chamamos de equação diferencial ordinária (EDO).

Exemplo de uma (EDO)

dx/dy+5y=e^x.(d^2 y)/(dx^2 )-dy/dx+6y=0 e ( dx)/dt+dy/dt=2x+y

Se a equação apresenta derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variável independentes, chamamos de equação diferencial parcial (EDP).

Exemplo de uma (EDP)

(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=0.(∂^2 u)/(∂x^2 )= (∂^2 u)/(∂t^2 )-2 (∂u )/∂t e ∂u/(∂y )=-∂v/∂x

Classificação por Ordem

Na classificação por ordem a ordem da derivada de maior ordem contida em uma equação diferencial é definida ordem da equação.

Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem sendo (y - x) dx + 4x dy = 0 também pode ser escrita

4x dy/dx+y=x

que fica dividida pela diferencia dx, sendo então uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Já a equação

a^2 (∂^4 u)/(∂x^4 )+(∂^2 u)/(∂t^2 )=0

sendo uma equação diferencia parcial de quarta ordem.

Mesmo que as equações diferenciais sejam importantes, o estudo demanda um vasto conhecimento da teoria da equações diferenciais ordinárias.

Classificação como Linear ou Não Linear

É chamada equação diferencial linear quando se pode escrever na forma

a_n (x) (〖d 〗^n y)/(dx^n )+a_(n-1) (x) (d^(n-1) y)/(dx^(n-1) )+⋯+a_1 (x) dy/dx+a_(0 ) (x)y=g(x).

Podemos ver que as equações diferenciais lineares tem por característica duas propriedades, na primeira a variável depende de y e de todas as suas derivadas do primeiro grau, ou seja, a potencia de cada termo envolvendo y é 1 e na segunda cada coeficiente de pende apenas da variável independente de x.

É chamada uma equação não linear quando se escreve na forma

xdy+y.xd=0

y"-2y'+y=0

e

x^3 (d^3 y)/(dx^3 )-x^2 (d^2 y)/(dx^2 )+x^3 dy/dx+5y=e^x

Sendo equações diferenciais de primeira, segunda e terceira ordens, simultaneamente.