Fibonacci

Fibonacci (filho de Bonaccio) foi um dos matemáticos mais importantes da idade média. Na idade média havia dois tipos de matemáticos, os de escolas religiosas ou de universidades e os que exerciam actividades de comércio e negócios. É aliás neste último grupo que Fibonacci se insere, como veremos mais adiante. Havia também neste período uma grande rivalidade entre os ‘abacistas’ - aqueles que eram especialistas em cálculo com o ábaco - e os ‘algoritmistas’ - aqueles que privilegiavam o cálculo através de algoritmos baseados no algarismo zero. Nos ‘agoritmistas’, um dos precursores mais notáveis foi Fibonacci.

Fibonacci nasceu por volta de 1180 em Pisa, uma das primeiras cidades comerciais italianas e que manteve um comércio florescente com o mundo árabe. O pai de Fibonacci era um mercador que trabalhou no norte de África, pelo que cedo Fibonacci foi iniciado nos negócios e nos cálculos, o que despertou o seu interesse pela matemática. Além disso, foi através da profissão do pai que ele teve o primeiro contacto com o sistema decimal hindu-árabe. Nesta altura, era ainda utilizada a numeração romana em Itália.

Foi no seu regresso a Pisa, em 1202, que Fibonacci escreveu a sua obra mais célebre, "Liber Abaci", que foi também um meio através do qual a numeração hindu-árabe foi utilizada na Europa Ocidental. No "Liber Abaci" explicava-se como utilizar estes numerais nas operações aritméticas, abordavam-se diversos temas de álgebra e geometria, e também propunham-se vários problemas. Escreveu também o livro "Practica Geometriae" em 1220; onde descreveu aquilo que tinha descoberto nas áreas de geometria e trigonometria.

O nome de Fibonacci tornou-se conhecido devido a um problema que existia no seu livro "Liber Abaci", que é o problema dos coelhos. A solução deste problema é uma sequência numérica.

 

Os coelhos de Fibonacci

Por volta do ano 1202, Fibonacci propõe na sua obra “Liber abaci” o seguinte problema:

Num pátio fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos estão no pátio?

Para resolver este problema é preciso prestar atenção ao processo de procriação do casal inicial de coelhos. Suponhamos, para ter uma ideia, que o primeiro casal de coelhos nasceu no dia 1 de Janeiro.

No dia 1 de Fevereiro, isto é, ao cabo de um mês, ainda não serão férteis. Porém, no dia 1 de Março já terão descendentes, e neste mês teremos um total de dois casais de coelhos.

No dia 1 de Abril, esse segundo casal de coelhos não será ainda fértil, mas o casal inicial de coelhos voltará a ter coelhinhos, e no quarto mês teremos um total de três casais de coelhos, dois dos quais serão férteis no dia 1 de Maio. Por conseguinte, para o quinto mês existirão cinco casais.

Se raciocinarmos de modo semelhante, veremos que no dia 1 de Junho ter-se-ão 8 casais de coelhos, em 1 de Julho 13 casais, em 1 de Agosto 21 casais e assim sucessivamente.

Ao fim de um ano, isto é, no dia 1 de Janeiro do ano seguinte, prevê-se que 144 casais de coelhos dêem voltas pelo pátio.

E se tudo correr bem, no ano seguinte, isto é, dois anos depois, espera-se que serão 46.368 casais de coelhos, os que temos de alimentar!

Já se sabe certamente que o número total de casais de coelhos forma uma sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … A famosa sucessão de Fibonacci. Os dois primeiros termos são ambos um e a partir do terceiro, cada termo é igual à soma dos outros dois anteriores.

Mas não é só no caso dos coelhos que ela se aplica. Ela surge no arranjo das espirais dos ananases; no número de ramos que se desenvolvem à medida que uma planta cresce, na disposição das folhas em torno do caule ou no número de pétalas de uma rosa. O que provavelmente não sabes é a ligação que tem com um número irracional famoso em Geometria, chamado número de ouro ou proporção divina, representado pela letra grega fi (Ф). O número de ouro traduz uma proporção que, desde os gregos, é considerado um ideal de harmonia e perfeição, tanto por matemáticos como por filósofos e artistas. Associado a este número está o rectângulo de ouro, presente na arte, na arquitectura, na natureza e até na publicidade.

Fibonacci e a Natureza

A sucessão de Fibonacci também ocorre frequentemente na natureza:

Nos arranjos das folhas;

Nas pétalas das flores;

Nas sépalas ou estames das flores;

Nos ramos das plantas;

Nas pinhas;

Nas sementes de girassol.

 Nos arranjos das folhas

Também muitas plantas mostram números de Fibonacci nos arranjos das suas folhas. Se pegarmos numa folha qualquer a que designamos folha zero e contarmos o número de folhas até alcançar uma outra folha com a mesma orientação (da folha zero), verificamos que o número total de folhas é um número de Fibonacci.

 

 Nas pétalas das flores

Em muitas plantas, o número de pétalas é um número de Fibonacci:

3 Pétalas - lírios e íris

5 Pétalas - columbinas, rainúnclos amarelos e esporas

8 Pétalas - delfíneos

13 Pétalas - crisântemos, cinerária e tasna

21 Pétalas - asteráceas

34 Pétalas - banana-na-terra e malmequer

 Nos ramos das plantas

Vejamos o caso dos ramos das plantas. Suponhamos que numa planta surge um novo ramo, só 2 meses depois ele consegue dar origem a uma nova ramificação. Prolongando este processo, vamos obter um esquema semelhante, como mostra a figura. Uma planta em que se observa este tipo de crescimento é Achillea ptarmica.

 Nas pinhas