Função Objectivo

Probelema

Um comercienate vai comprar dois tipos de calculadoras gráficas – Grafix2007 que lhe

custa 80€ e Grafix2007 Plus que lhe custa 120€.

Pretende investir, no máximo, 10.000€ e na loja apenas tem lugar para 100

calculadoras. Quanto ao preço de venda, decidiu que acrescentaria 25% e 20%,

respectivamente, ao custo da compra de Grafix2007 e da Grafix2007 Plus.

Nestas condições, quantas calculadoras de cada tipo deve comprar o comerciante para

ter o lucro máximo?

Para a resolução deste problema adoptamos a seguinte estratégia:

1. Identificação das variáveis;

2. Definição da função objectivo;

3. Tradução, em termos de inequações as restrições das variáveis;

4. Representação geométrica das restrições;

5. Interpretação da situação no contexto do problema;

6. Apresentação de uma conclusão

Criamos uma tabela para uma melhor síntese de dados:

Definição das variáveis:

x ― Calculadora gráfica Grafix2007;

y ― Calculadora gráfica Grafix2007 Plus

Chama-se restrições das variáveis às condições impostas pela natureza do próprio

problema e dos dados do mesmo.

Assim, as restrições das variáveis são:

• x ≥ 0 e y ≥ 0 ; o nº de máquinas nunca pode ser negativo;

• Preço de fábrica

80x + 120y ≤ 10.000; porque o máximo de dinheiro que o comerciante pretende

investir é de 10.000€;

• Quantidade de máquinas

x + y ≤ 100 ; porque a loja tem apenas lugar para 100 máquinas;

Estas restrições das variáveis x e y podem ser apresentadas através de um sistema de

inequações do 1º grau.

Assim, temos:

⎩

⎨

⎧

+ ≤

+ ≤

≥

≥

x y 1000

80x 120y 10000

0

0

y

x

Esta conjunção de condições pode ser representada graficamente.

Optamos por mostrar uma restrição de cada vez para uma melhor interpretação do

problema.

• Restrição referente ao preço de fábrica:

80 x + 120 y ≤ 10000

• Restrição referente à quantidade de máquinas:

x + y ≤100

Junção gráfica das restrições:

⎩

⎨

⎧

+ ≤

+ ≤

≥

≥

x y 1000

80x 120y 10000

Para saber qual a melhor condição para um lucro máximo substituem-se as incógnitas da

função objectivo pelas respectivas coordenadas dos pontos vértices da região

admissível.

Função objectivo:

L= 100 x + 144y

1. Em relação ao vértice A (10.000/120, 0):

L= 100 (0) + 144 (10.000/120) ⇔

⇔ L= 12.000€

2. Em relação ao vértice B (50, 50):

L= 100 (50) + 144 (50)⇔

⇔ L= 5000+7200⇔