Funções Trigonométrica

DEFINIÇÃO

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.

Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.

 seno (sen, em português; a maioria das linguagens de programação escrevem sin)

 coseno (cos)

 tangente (tan)

As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.

tangente

secante

cosecante

cotangente

O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.

As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, isto é, arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen-1, cos-1, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e é o cateto oposto ao ângulo α:

Tais funções são constantes para um mesmo ângulo α, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.

As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.

Exemplo - A hipotenusa de um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60° é igual a 5 centímetros. Qual à medida do cateto oposto ao ângulo de 30°?

SENO, COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS.

Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:

0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° 80° 85° 90°

Seno 0 0,08 0,17 0,25 0,34 0,42 0,5 0,57 0,64 0,7 0,76 0,81 0,86 0,9 0,93 0,96 0,98 0,99 1

Cosseno 1 0,99 0,98 0,96 0,93 0,9 0,86 0,81 0,76 0,7 0,64 0,57 0,5 0,42 0,34 0,25 0,17 0,08 0

Tangente 0 0,08 0,17 0,26 0,36 0,46 0,57 0,7 0,83 1 1,19 1,42 1,73 2,14 2,74 3,73 5,67 11,43 -

Os valores crescentes de sen x são os mesmos para cos x, entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica.

ÂNGULOS NOTÁVEIS.

Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa c igual a 1, seu lado a igual a 0,5 uc e seu lado b igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 √3 uc. Assim:

Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:

E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida √2 uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:

De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis é o quociente entre x e 2, em que x é a raiz de cada um dos cinco termos a1, a2, a3, a4 e a5 de uma progressão aritmética em que a1 = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:

0° 30° 45° 60° 90°

PA

Seno =

Cosseno =

A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:

Que resulta:

A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.

TRIÂNGULOS

São figuras geométricas definidas numa superfície plana, constituídas por três segmentos de recta cujas extremidades se unem. Sejam então três segmentos de recta, de comprimentos x, y e z. Quando unidas as extremidades, definem ângulos internos a, b e g. Seja a o ângulo menor definido pelos segmentos de comprimentos x e y. Abusivamente, designarei de agora em diante x e y os segmentos de recta de comprimento dado pelos valores de x e y, respectivamente.

Propriedade 1: Todos os triângulos, quaisquer que sejam, que a soma dos ângulos internos seja 180º, isto é,a + b + g = 180º .Isto se verifica sempre para todos os triângulos constituídos sobre uma superfície plana.

Propriedade 2: A soma do comprimento de dois lados quaisquer é sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos dizem-se semelhantes quando são homotéticos, isto é,