Funções e matemática financeira

Funções e Matemática Financeira

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

As funções do 1º grau são utilizadas. Quando desejamos fazer uma compra de eletrodomésticos ou móveis, por exemplo, e queremos parcelar, podemos visualizar através de cálculos envolvendo as funções e o quanto de juros será embutido nas parcelas, e se é vantajoso parcelar ou pagar a vista. Uma construção em casa ou reforma também se utiliza das funções do 1º grau para analisarmos se cabe no orçamento. Cálculos empresariais sobre custo de produção de determinado produto relacionado com a quantidade de unidades produzidas também é utilizado a função do primeiro grau. É um controle para a empresa para que ela não tenha prejuízos. Um vendedor também pode utilizar as funções do primeiro grau para calcular a quantidade de objetos que ele vai comprar para revender, o capital que ele tem disponível e o lucro que ele obterá quando colocar a venda (exemplo muambeiros, sacoleiros etc.).

As relações envolvendo grandezas são analisadas do ponto de vista das funções matemáticas.

As funções possuem inúmeras características e detalham desde cálculos cotidianos até situações de maior complexidade.

No caso da Matemática Financeira, as funções são relacionadas às aplicações de capitais nos regimes de juros simples e compostos, os quais utilizamos as funções do 1º grau e exponencial respectivamente.

Os gráficos representativos das funções citadas servem de análise sobre o andamento do montante formado mês a mês, observando qual aplicação é mais vantajosa dentro de um determinado período.

Observe os gráficos das situações a seguir, eles representarão o andamento da aplicação de acordo com o tipo de capitalização escolhida.

Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês nos regimes de juros simples e compostos. Vamos representar a função de cada aplicação e os gráficos correspondentes aos primeiros meses.

Juros simples

M = C + j

J = C * i * t

Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 540,00.

Juros compostos

M = C * (1 + i)t

Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 541,22

Gráficos

Juros simples

Juro composto

Ao compararmos os dados e os gráficos percebemos que na capitalização simples os juros crescem de forma linear, enquanto na capitalização composta os juros crescem de forma exponencial. De acordo com os gráficos percebemos que a aplicação utilizando juros compostos é mais rentável que a capitalização simples, pois no regime simples os juros são fixos, isto é, calculados somente sobre o montante inicial. No caso dos compostos, são aplicados juros sobre juros, dessa forma, o valor de cada juro mensal é sempre maior que o do mês anterior.

Fórmula de Bháskara

A fórmula a de Bháskara é usada para resolver e descobrir a raiz de uma equação de segundo grau. Antes, ate o século 16, não era usada nenhuma fórmula para descobrir a raiz, até que veio essa fórmula, uma fórmula que não pode ser considerada complicada pelos estudantes de ensino médio, já que suas regras são básicas.

Essa fórmula começou com o matemático Bháskara Akaria, que nasceu na cidade Vijayapura que fica na Índia, viveu de 1114-1185. O indiano ajudou muitas pessoas e até hoje colaborando com o que deixou que é a fórmula de Bháskara, pois essa fórmula simplifica muito para conseguir achar a raiz de uma equação do segundo grau.

A fórmula que carrega seu nome foi uma homenagem feita, já que no século XX, o matemático desafiou os mistérios da conta e conseguiu resolver o problema e assim expôs ao mundo os mistérios da formula de Báskara que também pode ser conhecida como equação do segundo grau.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

Chamamos de discriminante: Δ = b2-4ac

Dependendo do sinal de Δ, temos:

Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.

Δ>0, então a equação tem duas raízes iguais diferentes.

Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

A idéia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:

ax2+bx+c=0

a2x2+abx+ac=0

4a2x2+4abx+4ac=0

4a2x2+4abx+b2+4ac=b2

(2ax)2+2(2ax)b+b2=b2-4ac

(2ax+b)2=b2-4ac

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.

Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então:

S = x1+x2 = -b/a

P = x1.x2 = c/a

Exercícios propostos na ATPS:

Etapa 2

1º questão:

A receita gerada pela comercialização de um determinado produto pode