Funções trigonométricas

Funções Trigonométricas

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais.

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].

x 0 /4

/2

3 /4

5 /4

3 /2

7 /4

2

y 0 ½

1 ½

0 -½

-1 -½

0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

Propriedades da função seno

Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.

Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}

Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:

sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )

Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )

para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0

sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

A função seno é periódica de período fundamental T=2 .

Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .

Sinal:

Intervalo [0, /2]

[ /2, ]

[ ,3 /2]

[3 /2,2 ]

Função seno positiva positiva negativa negativa

Monotonicidade:

Intervalo [0, /2]

[ /2, ]

[ ,3 /2]

[3 /2,2 ]

Função seno crescente decrescente decrescente crescente

Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

-1 < sen(x) < 1

Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

sen(-x) = -sen(x)

Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].3

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

Propriedades da função cosseno

Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.

Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}

Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:

cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )

Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos

cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )

Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então

cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)

A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .

x 0 /4 /2

3 /4

5 /4

3 /2

7 /4

2

y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0

Sinal:

Intervalo [0, /2]

[ /2, ]

[